Zestaw 5. zadań z matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
WFiU, Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw 5. zadań z matematyki1
Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Wyznacz ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji:
a)
f (x) = −x5 + 5x4 − 5x3 + 1,
g)
x2
,
x+3
(x − 1)3
,
f (x) =
x2
f (x) = x2 ex ,
i)
f (x) = 7 ln(x + 2) +
c)
e)
f (x) =
b)
f (x) = 5 + 2x2 − x4 ,
d) f (x) =
x3
,
x−2
1
,
x−3
h) f (x) = ln(x2 − 1),
f ) f (x) = x + 5 +
10
− x,
x+2
j) f (x) = 10 ln(x + 3) +
x2
− 4x.
2
Zadanie 2. Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:
a)
c)
e)
g)
f (x) = −x4 − 2x3 + 12x2 + 5,
2
f (x) = − x6 + 8x5 − 25x4 − x + 3,
3
x 3
f (x) = + ,
3 x
f (x) = (x + 2)ex ,
3 5
x − x4 + x3 + 2x − 7,
10
1
1
2
d) f (x) = − x7 − x6 + x5 − 3x − 1,
21
5
5
1
f ) f (x) = 2
,
x −4
h) f (x) = x2 + 4 ln x.
b) f (x) =
c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 1
Zestaw dostępny na stronie: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/j zestaw5 101WL.pdf
Odpowiedzi
Zadanie 1.
a)
f 0 (x) = −5x2 (x − 1)(x − 3), fmin (1) = 0, fmax (3) = 28,
f % w przedziale (1, 3), f & w przedziałach: (−∞, 0), (0, 1), (3, ∞);
b)
f 0 (x) = −4x(x − 1)(x + 1), fmax (−1) = 6, fmin (0) = 5, fmax (1) = 6,
f % w przedziałach: (−∞, −1), (0, 1), f & w przedziałach: (−1, 0), (1, ∞);
c)
f 0 (x) = x(x+6)
fmax (−6) = −12, fmin (0) = 0,
(x+3)2 ,
f % w przedziałach: (−∞, −6), (0, ∞), f & w przedziałach: (−6, −3), (−3, 0);
d)
(x−3)
fmin (3) = 27,
f 0 (x) = 2x(x−2)
2 ,
f % w przedziale (3, ∞), f & w przedziałach: (−∞, 0), (0, 2), (2, 3);
e)
f 0 (x) = (x+2)(x−1)
, fmax (−2) = 27
x3
4 ,
f % w przedziałach: (−∞, −2), (0, 1), (1, ∞),
2
2
f & w przedziale (−2, 0);
(x−2)(x−4)
(x−3)2 ,
f)
f 0 (x) =
fmax (2) = 6, fmin (4) = 10,
f % w przedziałach: (−∞, 2), (4, ∞), f & w przedziałach: (2, 3), (3, 4);
g)
f 0 (x) = xex (x + 2), fmin (0) = 0, fmax (−2) = e42 ,
f % w przedziałach: (−∞, −2), (0, ∞), f & w przedziale (−2, 0);
h)
f 0 (x) = x22x
−1 , brak ekstremum,
f % w przedziale (1, ∞), f & w przedziale (−∞, −1);
i)
f 0 (x) = −x(x−3)
fmin (0) = 7 ln 2 + 5, fmax (3) = 7 ln 5 − 1,
(x+2)2 ,
f % w przedziale (0, 3), f & w przedziałach: (−2, 0), (3, ∞);
j)
, fmax (−1) = 10 ln 2 + 92 , fmin (2) = 10 ln 5 − 6,
f 0 (x) = (x−2)(x+1)
x+3
f % w przedziałach: (−3, −1), (2, ∞) f & w przedziale (−1, 2);
Zadanie 2.
a)
f 00 (x) = −12(x − 1)(x + 2), x = −2 oraz x = 1 to punkty przegięcia f ,
f ” ∪ ” w przedziale (−2, 1), f ” ∩ ” w przedziałach: (−∞, −2), (1, ∞);
b)
f 00 (x) = 6x(x − 1)2 , x = 0 to punkt przegięcia f ,
f ” ∪ ” w przedziałach: (0, 1), (1, ∞), f ” ∩ ” w przedziale (−∞, 0);
c)
f 00 (x) = −20x2 (x − 3)(x − 5), x = 3 oraz x = 5 to punkty przegięcia f ,
f ” ∪ ” w przedziale (3, 5), f ” ∩ ” w przedziałach: (−∞, 0), (0, 3), (5, ∞);
d)
f 00 (x) = −2x3 (x − 1)(x + 4), x = −4, x = 0 oraz x = 1 to punkty przegięcia f ,
f ” ∪ ” w przedziałach: (−∞, −4), (0, 1), f ” ∩ ” w przedziałach: (−4, 0), (1, ∞);
e)
f 00 (x) = x63 , brak punktów przegięcia,
f ” ∪ ” w przedziale (0, ∞), f ” ∩ ” w przedziale (−∞, 0);
f)
+8
f 00 (x) = (x6x2 −4)
brak punktów przegięcia,
3,
f ” ∪ ” w przedziałach: (−∞, −2), (2, ∞), f ” ∩ ” w przedziale (−2, 2);
g)
f 00 (x) = (x + 4)ex , x = −4 to punkt przegięcia f ,
f ” ∪ ” w przedziale (−4, ∞), f ” ∩ ” w przedziale (−∞, −4);
√
√
√
2)
f 00 (x) = 2(x− 2)(x+
, x = 2 to punkt przegięcia f ,
x2
√
√
f ” ∪ ” w przedziale ( 2, ∞), f ” ∩ ” w przedziale (0, 2);
h)
2