Badanie przebiegu zmienności: monotoniczność i wypukłość

Analiza - zestaw 9 - 14-20 XII 2016
Badanie przebiegu zmienności: monotoniczność, ekstrema, wypukłość, punkty
przegięcia.
Jeśli funkcja 𝑓 : ℝ → ℝ jest różniczkowalna, to:
∙ 𝑓 jest rosnąca w przedziale (𝑎, 𝑏) ⇔ 𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏);
∙ 𝑓 jest malejąca w przedziale (𝑎, 𝑏) ⇔ 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla każdego 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
∙ 𝑓 ma maksimum w punkcie 𝑥0 ∈ ℝ, jeśli 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 oraz 𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 < 𝑥0
i 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 > 𝑥0 w pewnym otoczeniu 𝑥0 (pochodna 𝑓 zmienia znak z „+”
na „−” przy przejściu przez 𝑥0 );
∙ 𝑓 ma minimum w punkcie 𝑥0 ∈ ℝ, jeśli 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 oraz 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 < 𝑥0 i
𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 > 𝑥0 w pewnym otoczeniu 𝑥0 (pochodna 𝑓 zmienia znak z „−”
na „+” przy przejściu przez 𝑥0 ).
Zadanie 1. Znaleźć przedziały monotoniczności oraz wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 +3𝑥2 −9𝑥−2, ą) 𝑓 (𝑥) = 4𝑥3 −3𝑥2 −16𝑥+12, b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 +𝑥2 −16𝑥−16,
√
3𝑥−1
c) 𝑓 (𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)2 , ć) 𝑓 (𝑥) = 2𝑥+1
, d) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥1 , e) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 2 −𝑥,
√
2
f) 𝑓 (𝑥) = 3 𝑥3 − 6𝑥2 , g) 𝑓 (𝑥) = cos 2𝑥, h) 𝑓 (𝑥) = 𝑒1/𝑥 ,
ę) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑥+𝑥+1
2 −1 ,
𝑥3
−𝑥−1
i) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln 𝑥; j) 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥2 +𝑥 ; k) 𝑓 (𝑥) = 2𝑥−3
; l) 𝑓 (𝑥) = 𝑥21+2 ; ł) 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥−1 ;
𝑥+2
√
1
𝑥
m) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1 − 𝑥; n) 𝑓 (𝑥) = 1+ln
; o) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 𝑒−3𝑥 ; ó) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 𝑥 ;
𝑥
3
2
2𝑥
𝑒−𝑥
2
3
p) 𝑓 (𝑥) = arcsin 1+𝑥
2 ; q) 𝑓 (𝑥) = cos 𝑥 + 2 sin 𝑥; r) 𝑓 (𝑥) = 𝑥−1 ; s) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 − ln 𝑥 ;
√
ś) 𝑓 (𝑥) = arctg 𝑥1 ; t) 𝑓 (𝑥) = ln𝑥𝑥 ; u) 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥2 − 1; w) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 arctg 𝑥.
Zadanie 2.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w odpowiednich
przedziałach:
√
a) 𝑓 (𝑥) = cos2 𝑥 w [− 𝜋4 , 𝜋4 ]; b) 𝑓 (𝑥) = 2(1 − cos 𝑥) w [0, 2𝜋];
√
c) 𝑓 (𝑥) = 13 𝑥3 − 52 𝑥2 + 4𝑥 w [0, 5]; d) 𝑓 (𝑥) = 3 + 2𝑥 w [−1, 1];
e) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 ln 𝑥 w [1, 𝑒]; f) 𝑓 (𝑥) = ∣𝑥2 − 2𝑥∣ + ∣𝑥2 − 𝑥∣ − 𝑥 w [0, 3];
𝑥+1
g) 𝑓 (𝑥) = 4𝑥 − ln(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)2 w [2, 1 + 𝑒]; h) 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑒2 −1 w [2, 4].
∙ 𝑓 jest wypukła na przedziale (𝑎, 𝑏) ⊂ ℝ, jeśli 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏);
∙ 𝑓 jest wklęsła na przedziale (𝑎, 𝑏) ⊂ ℝ, jeśli 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
Punkt 𝑥 ∈ ℝ, w którym 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 oraz przy przejściu przez niego 𝑓 ′′ zmienia znak,
nazwiemy punktem przegięcia 𝑓 (wykres 𝑓 zmienia kształt z wypukłego na wklęsły
lub odwrotnie).
Zadanie 3. Zbadać przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f oraz wyznaczyć jej
punkty przegięcia:
√
3
a) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + ln 𝑥2 ; b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑥 ; c) 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 𝑒−𝑥 ;
1
𝑥4
d) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 − 2); e) 𝑓 (𝑥) = 2−𝑥
3 ; f) 𝑓 (𝑥) = arcsin 𝑥 .
Zadanie 4. Sprawdzić, czy prawo Gossena jest spełnione dla 𝑥 > 0 przez następujące
funkcje użyteczności:
√
√
√
a) 𝑢(𝑥) = 𝑥 + ln 𝑥; b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 4 𝑥.
Zadanie 5. Dla poniższej funkcji kosztów 𝐾 od wielkości produkcji 𝑥 wyznaczyć zbiór
poziomów produkcji dla których zysk jest dodatni i maksymalny przy cenie sprzedaży 𝑝.
Podać maksymalny zysk i punkt przegięcia krzywej kosztów (jeśli istnieje). Zakładamy,
że cała produkcja zostanie sprzedana.
a) 𝐾(𝑥) = 0, 3𝑥2 + 50𝑥 + 108000, 𝑝 = 500; b) 𝐾(𝑥) = 0, 1𝑥2 + 8𝑥 + 1210, 𝑝 = 130;
c) 𝐾(𝑥) = 0, 02𝑥3 −3𝑥2 +154𝑥+1280, 𝑝 = 220; d) 𝐾(𝑥) = 0, 002𝑥3 −0, 4𝑥2 +360𝑥+72000,
𝑝 = 1000.
Zadanie 6. Mając daną funkcję kosztu przeciętnego produkcji 𝐾𝑝 (𝑥) = 𝑥2 𝑒2𝑥+3 zbadać,
dla jakiej wartości wielkości produkcji 𝑥 koszt całkowity będzie najmniejszy.
1
2
Zadanie 7. W pewnym zakładzie koszt całkowity 𝐾𝑐 jest funkcją wielkości produkcji
𝑥: 𝐾𝑐 (𝑥) = 31 𝑥4 − 12 𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥. Przy jakiej wielkości produkcji 𝑥 koszt przeciętny
produkcji jednego artykułu będzie najmniejszy?
Zadanie 8. W przedsiębiorstwie o produkcji jednorodnej zależność kosztu całkowitego
od wielkości produkcji 𝑥 opisuje funkcja 𝐾𝑐 (𝑥) = 31 𝑥2 − 3𝑥 + 12 , a zależność dochodu
od wielkości produkcji funkcja 𝑅(𝑥) = 12𝑥 − 𝑥2 . Zbadać w jaki sposób zmienia się zysk
przedsiębiorstwa ze zmianą wielkości produkcji.
Zadanie 9. Dana jest funkcja kosztów w zależności od wielkości produkcji 𝐾(𝑥) =
2 3
𝑥 − 7𝑥2 + 20𝑥. Popyt 𝑥 na towar istnieje przy cenie 𝑝(𝑥) = 32 𝑥2 − 𝑥 + 2. Cena jest
3
zawsze dobierana tak, by sprzedać całą produkcję.
a) Znaleźć funkcję kosztu krańcowego, przeciętnego, oraz utargu (przychodu) całkowitego
w zależności od wielkości produkcji.
b) Jaka jest funkcja zysku?
c) Dla jakich 𝑥 koszty krańcowe są ujemne?
d) Dla jakich 𝑥 ∈ [0, 10] zysk jest maksymalny? Ile wynosi?
Zadanie 10. Popyt na telewizory w pewnym mieście kształtował się według wzoru
𝐷(𝑡) = 1+2𝑒1 −2𝑡 , gdzie 𝑡 jest czasem wyrażonym w latach. Po jakim czasie tempo wzrostu
popytu zaczęło spadać? Jak zmieniał się wtedy popyt na telewizory?
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski