Wstęp do analizy zespolonej

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: WSTĘP DO ANALIZY ZESPOLONEJ
Rok studiów:
Semestr:
III
5
ECTS: 2
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
15
15
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Znajomość materiału wykładu analizy matematycznej, wstępu do teorii mnogości i topologii i algebry
w zakresie pierwszego i drugiego roku studiów.
Założenia i cele przedmiotu
Zaznajomienie studentów z podstawowymi pojęciami teorii funkcji zmiennej zespolonej i szeregów
potęgowych zespolonych.
Metody dydaktyczne
Realizacja programu w formie wykładów i ćwiczeń audytoryjnych; w ramach ćwiczeń audytoryjnych
przeprowadzone będą sprawdziany kontrolne
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie z ćwiczeń na podstawie odpowiedzi ustnych i wyników kolokwiów
Egzamin ustny
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Przypomnienie podstawowych własności ciała liczb zespolonych; ciągi i szeregi liczbowe; kryteria
zbieżności szeregów liczbowych; zbiory zwarte, zbiory spójne. Płaszczyzna domknięta (sfera
Riemanna). Rzut stereograficzny.
2. Ciągi i szeregi funkcyjne.
3. Szeregi potęgowe; lemat Abela, promień zbieżności, zasada identyczności.
4. Podstawowe funkcje zmiennej zespolonej. Homografia. Funkcje wykładnicze. Funkcje trygonometryczne. Logarytm, potęga, gałąź jednoznaczna argumentu, logarytmu i potęgi. Związki
między funkcjami elementarnymi zmiennej zespolonej.
5. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy'ego - Riemanna.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Zadania na działania na liczbach zespolonych, wyznaczanie pierwiastków zadanego stopnia,
rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej. Badanie zbieżności szeregów
liczbowych przy pomocy kryteriów zbieżności.
2. Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciagów i szeregów funkcyjnych.
3. Obliczanie promienia zbieżności szeregów potęgowych. Badanie zachowania szeregów potęgowych na okręgu koła zbieżności.
4. Wyznaczanie homografii odwzorowujących wzajemnie dwa zadane zbiory na siebie.
Wyznaczanie logarytmów liczb zespolonych.
5. Zadania na badanie własności funkcji elementarnych zmiennej zespolonej; wyznaczanie obrazów
i przeciwobrazów zbiorów poprzez funkcje elementarne. Wyznaczanie gałęzi jednoznacznych
logarytmu.
6. Sprawdzanie różniczkowalności w sensie zespolonym z definicji i przy wykorzystaniu równań
Cauchy'ego - Riemanna.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] J. Krzyż, J. Ławrynowicz, Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa, 1984
[2] F. Leja, Funkcje zespolone, PZWS, Warszawa, 1973
[3] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PZWS, Warszawa, 1986
[4] W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PZWS, Warszawa, 1974
Wykaz literatury uzupełniającej:
Zaleca się studentom korzystanie z najnowszych opracowań dostępnych na stronach internetowych
Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego:
[1] Z. Błocki, Funkcje analityczne, http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/publ/ln/index.html
[2] M. Jarnicki, Wykłady z funkcji analitycznych, http://www.im.uj.edu.pl/MarekJarnicki/
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
doc. dr hab. Piotr JAKÓBCZAK
Zatwierdził:
Dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK