LICZBY ZESPOLONE - zadania dla chętnych

LICZBY ZESPOLONE - zadania
Uwaga: W poniższych zadaniach symbol "j " należy traktować tak samo jak używany
na zajęciach symbol "i" - czyli jako jednostkę urojoną.
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż Re(w) oraz Im(w)
(a) w=
4 j (1 − 16 j ) − (1 + j ) 2
( j + 2)(2 j + 1)
(b) w= j 135
(1 − j ) 2
(c) w=
(−2 + 2 j ) 2 j 63
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną i wykładniczą:
(a) z = − 2
(b) z1 = 5 j
(c) z = 2 − j 12
(d) z1 = −2 + 2 j
Zadanie 3
Niech z1 = −2 3 + 2 j , z 2 = −8 j , z 3 = − 3 − j Oblicz:
(a) z1 ⋅ z 2
(b) z1 ⋅ z 3
z
(c) 1
z2
z
(d) 1
z3
12
(i)
3
1− j
12
1
99
3
(j)
(k)
4
(l)
−1
8
7 − 24 j
(e) z1
(f)
z
z
(g)
3
z1
(h)
3
z2
3
Uwaga: wszystkie powyższe pierwiastki rozumiemy w sensie zespolonym. Wszystkie
wyniki zapisz w postaci algebraicznej. Wyodrębnij część rzeczywistą i urojoną.
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
2
(a) x + 9 = 0
(b) x 2 + 5 = 0
(c) x 2 − 25 = 0
(d) x 2 − 2 x + 5 = 0
(e) x 2 − 6 x + 13 = 0
(f) x 2 + x − 2 = 0
(g) x 2 − (2 − j ) x − 1 + 5 j = 0
(h) (1 − 2 j ) x 2 − (2 + j ) x + j = 0
Zadanie 5
Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów:
A = {z ∈ C :| z − 3 + 2 j | = 4}
B = {z ∈ C :| z + 1 − 3 j | = 2}
D = {z ∈ C : 1 <| z + 3 j | < 2}
E = {z ∈ C :| z + 2 − 3 j | = | z − 2 + j |}
F = {z ∈ C : Im( z − 3 + 2 j ) > 4}
G = {z ∈ C : Re( z + 3 j ) < 2}
H = z ∈ C : Re( z 2 + 2 j ) ≥ 6
{
}
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie z 0 i promieniu R.
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów z1 i z 2 ( z1 i
z 2 - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)