3. ←↑→ 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Transkrypt
3. ←↑→ 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora = { x , y , xy } (3.1) Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku: y yx x y xy x xy yx y x Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt zapisujemy: x ,= x cos2 y sin 2 2 xy sin cos (3.2) y ,= x sin 2 y cos2 −2 xy sin cos (3.3) x ' y ' =− x − y sin cos xy cos 2 −sin 2 (3.4) lub krócej w postaci macierzowej ' =T (3.5) gdzie wektory ' i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych. Macierz transformacji zapisujemy w postaci: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA [ c 2 s2 T = s2 c2 −sc sc 2 sc −2 sc c 2 −s 2 ] 2 (3.6) Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas x ,= x y x − y cos2 xy sin 2 2 2 (3.7) y ,= x y x − y − cos2 − xy sin 2 2 2 (3.8) x ' y ' =− x − y sin 2 xy cos2 2 (3.9) Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco: x y = x ' y ' =const. (3.10) x y −2xy = x ' y ' −2x ' y ' =const. (3.11) Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta . Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy: tg 2 gł = y I , II = x ± 2 2 xy x − y (3.12) 2 x − y 2xy 2 (3.13) Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt / 4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą: ' MAX = 2 x y 2xy 2 (3.14) Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym składowe odniesione do układu (x0y) w postaci: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3 = { x y xy } (3.15) Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci: x= ∂u ∂x y= ∂v ∂y xy = ∂u ∂v ∂y ∂x (3.16) Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej: v ∂v dy ∂y ∂u ∂y dy y,v ∂u dy ∂y v ∂v ∂x u dx ∂v dx ∂x ∂u u dx ∂x x,u Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco =Lu (3.17) gdzie wektor u=[u , v ]T , natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać: [ ] ∂ ∂x L= 0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂y ∂ ∂x (3.18) W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru: J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 4 z =0 xz =0 (3.19) yz =0 Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru: xz =0 yz =0 (3.20) a wartość z ≠0 Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco x= 1 − y E x 1 y = y − x E xy = 21 1 xy = xy G E z =− x y E (3.21) (3.22) lub w postaci relacji odwrotnej x= E x y 1−2 E y= y x 1−2 xy = gdzie = E E xy = xy 21 1−2 (3.23) (3.24) 1 − 2 Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci =C J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak (3.25) AlmaMater 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 5 gdzie C= [ 1 − 0 1 − 1 0 E 0 0 21 ] (3.26) lub odwrotnie =D (3.27) gdzie D=C −1= [ ] 1 0 E 1 0 2 1− 0 0 (3.28) W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru: z =0 xz =0 yz =0 (3.29) xz =0 yz =0 natomiast z ≠0 (3.30) Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco x= 1 − y − z E x 1 y = y − x − z E xy = 21 xy E (3.31) (3.32) oraz J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA z= 1 − x − y z =0 E 6 (3.33) skąd z = y x (3.34) Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie x= 1 [ 1− x − y ] E (3.35) y= 1 [ 1− y − x ] E (3.36) 21 xy E (3.37) x= E [ 1− x − y ] 11−2 (3.38) y= E [ 1− y − x ] 11−2 (3.39) E 21 xy (3.40) xy = lub odwracając zależności: xy = W zapisie macierzowym zapiszemy: C= [ 1− − 0 1 − 1− 0 E 0 0 2 ] (3.41) oraz E D=C = 11−2 −1 [ 1− 1− 0 0 0 0 1−2 2 ] J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak (3.42) AlmaMater