zastosowanie modelu dwuliniowego i metody obserwatorów

Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
207
Wojciech Jarzyna
Katedra Napędów i Maszyn Elektrycznych, Politechnika Lubelska
ZASTOSOWANIE MODELU DWULINIOWEGO I METODY
OBSERWATORÓW ODPRZĘGAJĄCYCH DO IDENTYFIKACJI
PARAMETRÓW MASZYNY ELEKTRYCZNEJ
APPLICATION OF BILINEAR MODEL AND METHOD OF DECOUPLING
OBERVERS IN PARAMETER IDENTIFICATION OF ELECTRICAL MACHINE
Streszczenie: W artykule zaproponowano metodę identyfikacji parametrów opartą na modelowaniu
matematycznym układu napędowego w stanie nieustalonym. Dla rozwiązywanych zagadnień identyfikacji
zaproponowano opis matematyczny silnika indukcyjnego w postaci modelu dwuliniowego, który może być
rozwiązany przy pomocy obserwatora Luenbergera. Ponieważ, uzyskane równanie zawiera pewną liczbę
nieznanych parametrów, dlatego do jego rozwiązania zastosowano specjalne macierze przejść i macierze
sprzężeń zwrotnych. Ich zastosowanie pozwoliło obliczyć nieznane poszukiwane parametry i zmienne.
Abstract: In the paper a parameter identification method based on transient states mathematical modeling of
the electrical drive system is proposed. To obtain a proper solution, a mathematical nonlinear model is
formulated in the form of bilinear state equation which can be solved applying Luenberger observer
algorithms. However received equation contains a certain number of unknown parameters. Therefore, to solve
it a special transition matrices and feedback matrices are designed. Their application allow to compute
unknown model parameters and its variables.
Słowa kluczowe: obserwatory odsprzęgające, model dwuliniowy, estymacja parametrów
Keywords: decoupling observers, bilinear model, parameter estimation
1. Wstęp
Technika estymacji w czasie rzeczywistym
zmiennych i parametrów układu napędowego
stosowana jest powszechnie w układach
wykorzystujących
zaawansowane
metody
regulacji. Należą do nich między innymi
metody sterownia polowo-zorientowanego czy
regulacji
bezpośredniej
momentu.
Wielkościami, od których w decydujący sposób
zależy dokładność sterownia wektorowego są w
szczególności stałe elektromagnetyczne wirnika
i stojana. Do ich wyznaczania stosuje się
najczęściej estymację z modelem odniesienia
typu MRAS czy odtwarzanie parametrów przy
zastosowaniu obserwatorów rozszerzonych
[1,2].
Wymienione metody pozwalają na wyliczenie
wymaganych wielkości nawet w czasie bliskim
kilku milisekundom. Są to więc metody bardzo
szybkie, których zastosowanie może być
również
wykorzystane
w
technice
diagnostycznej maszyn elektrycznych. Tego
typu przykłady zastosowań są jednak bardzo
rzadko spotykane. Jedną z przyczyn małego
zainteresowania takimi rozwiązaniami jest
niejednoznaczność wyników obliczeń, które
wykorzystywane są dalej do wnioskowania
diagnostycznego.
Jak można poprawić i rozszerzyć zakres
wykorzystania do diagnostyki dynamicznych
metod estymacji wskazuje niniejszy artykuł.
Przedstawiono w nim koncepcję obserwatorów
odprzęgających
wybranych
wielkości
elektrycznych
i
mechanicznych.
Ich
podstawowa struktura oparta jest na
klasycznym modelu Luenbergera. Blokami,
które w zasadniczy sposób zmieniają
właściwości tych obserwatorów są odpowiednio
dobrane macierze przejść wejść i wyjść, które
pełnią rolę selektywnych filtrów sygnałowych.
Ponadto, rozszerzając odpowiednio macierze
sprzężeń zwrotnych, stwarzane są podstawy do
zaprojektowania obserwatorów, które są
niewrażliwe na wybrane zmienne i parametry
układu napędowego. W dalszej części artykułu,
własność tą określać się będzie jako
odsprzężenie
wybranych
zmiennych
i parametrów od określonych wielkości.
Wykorzystując te możliwości w strukturach
obserwatorów równoległych i porównując
wyniki estymacji, łatwo dostrzec, że uzyskuje
się interesujące możliwości identyfikacji
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
208
zachodzących w maszynie i napędzie
elektrycznym zmian parametrów [3, 4].
Pierwszą
kwestią podczas rozwiązywania
takich zagadnień jest przyjęcie modelu
matematycznego. W niniejszym artykule
zastosowano
model
nieliniowy.
Jego
uproszczenie do modelu zlinearyzowanego
wokół określonych punktów pracy pozwala
uzyskać parametryzację zgodną z szeroko
stosowanymi modelami liniowymi. Ze względu
na obszerność artykuł, nie zawiera on symulacji
i badań eksperymentalnych. Będą one
przedstawione w kolejnej publikacji.
2. Nieliniowy model
silnika indukcyjnego
matematyczny
Rozważany model układu napędowego z
silnikiem indukcyjnym uwzględnia istnienie
zmian parametrów reprezentowanych przez
stałe elektromagnetyczne obwodu stojana i
wirnika τs i τr oraz skumulowane współczynniki
rozproszenia ϭs i ϭm , zależne od stanu
symetrii obwodu magnetycznego oraz jego
nasycenia.
W prezentowanym opracowaniu badano
możliwości
identyfikacji
wymienionych
parametrów. Podczas analizy przyjęto model
matematyczny w wirującym synchronicznie
z wektorem
napięcia
stojana
układzie
odniesienia 0xy.
Przyjmując za zmienne prąd stojana, strumień
magnetyczny wirnika oraz prędkość kątową,
równania stanu przedstawiono w następującej
postaci układu równań (1).
 1
d
1 
1
isx +
isx = −
Ψrx +
+
σ mτ r Lm
dt
 σ sτ s σ mτ r 
+
ωr
σ m Lm
Ψry + β1usx
 1
ωr
d
1 
isy −
isy = −
+
Ψrx +
dt
σ m Lm
 σ sτ s σ mτ r 
1
+
Ψry + β1u sy
σ mτ r Lm
d
L
1
Ψrx = m isx − Ψrx − ωr Ψry
dt
τr
τr
d
L
1
Ψry = m isy + ωr Ψrx − Ψry
dt
τr
τr
d
1
ωr = [( Ψrx isy − Ψryisx ) − M − Dωr ] (1)
dt
J
gdzie
σs =
L s ⋅Lr − L2m
;
L s ⋅Lr
τs =
Ls
;
Rs
τr =
σm =
Lr
;
Rr
L s ⋅Lr − L2m
Lm
β1 =
2
1
σ s ⋅ Ls
Rs, Rr,, Ls , Lr - rezystancja i indukcyjność
stojana, wirnika ,
Lm
- indukcyjność główna silnika,
τs, τr - stała czasowa stojana, wirnika
ωr
- prędkość kątowa silnika.
3. Reprezentacja równań stanu układu
napędowego w zapisie dwuliniowym
Do badań diagnostycznych wykorzystano
dwuliniową
aproksymacja
modelu
matematycznego zespołu napędowego. Jej
równanie przedstawia formuła (1) [4].
x& = A 0 (a0 )x + B 0 (b0 )u +
m
∂A
∂B
δa j x + ∑
δbk u
j=1 ∂a j
k =1 ∂bk
n
+∑
(2)
W wyrażeniu tym macierze Ao, Bo określone są
przez parametry stałe ao, bo, wielkości δaj i δbk
to
uzmiennione
wartości
parametrów
nieliniowych macierzy A i B. Dla uproszczenia
zapisu przyjęto podstawienie x1, ...,x5.za
zmienne isx, isy, ψrx, ψry, ωr (2).
Dla nieliniowości strukturalnych występujących
w postaci iloczynów zmiennych ψry ωr oraz
ψrx ωr, końcowa postać równania zależy od
wyboru ustalonych czynników (ao=xio), a tym
samym od wyboru czynników zmiennych
δaj=ξj (3).
x& = A 0 x + ∑
i
∂A
ξ i x + B 0u
∂xi
(3)
Przykładowo, podczas wyboru zmiennych x1, x2
i x5 ustalone wartości tych zmiennych x1o, x2o
i x5o umożliwiają sformułowanie stacjonarnej
macierzy Ao(4), podczas gdy przyrosty tych
zmiennych ξ1, ξ2 i ξ5 realizują korektę
obliczanych wartości.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
  1
1
+
− 
σ
τ
σ
mτ r
  s s

0



Lm

τ
r


0


0





x5o
0 
σ mτ r Lm σ m Lm


 1
1  − x5o
1


−
+
 σ L σ τ L 0 
σ
τ
σ
τ
m r 
m m
m r m

 s s

1
0
−
− x5o
0 
τr

Lm
1
x5o
−
0 
τr
τr

0
x2o
− x1o − D 
0
1
•
4. Uodpornianie modelu obliczeniowego
względem nieznanych parametrów
Wyprowadzone modele dwuliniowe posiadają
dodatkowe składniki ξi uwzględniające
przejściowy charakter ustalonych wstępnie
zmiennych. Są to wielkości, które poddane
zostaną procesowi identyfikacji. Wówczas
dodatkowe macierze poprzedzające czynniki ξi
traktuje się jako zakłócenia o charakterze
błędów modelowania ∆Α=(∂A/∂xi.) ξi . Ogólny
schemat obliczeń przedstawia rys. 1.
Rys. 1. Schemat
blokowy
układu
odsprzęgającego wybrane wyrażenia modelu
napędu elektrycznego, które są zależne od
uchybów (∂A/∂xi)ξi
Aby uzyskać odsprzężenie wyników obliczeń
od tych wielkości należy zaprojektować
odpowiedni kształt macierzy stanu F(i), funkcji
przejścia wejścia T(i) i wyjścia obserwatora H
[1, 2]. Składają się na nią następujące kroki:
sprawdzenie zgodności wymiarów
rank(C∆A) = rank(∆A)
•
(5)
wybór macierzy przejścia H i T
T = I − HC
•
(6)
sprawdzenie warunku obserwowalności
obserwatora
poprzez
weryfikację
obserwowalności pary (C, Ar), przy czym
A r = TA
(4)
Model ten wykorzystuje trzy parametryzowane
zmienne: dwie składowe prądu stojana oraz
prędkość kątową wirnika. Wszystkie te trzy
zmienne mogą być dostępne pomiarowo.
W takim przypadku obliczenia przedstawionego
modelu nie są czasochłonne. Jeżeli jednak
prędkość kątową trzeba estymować, wówczas
czas
obliczeń
może
wydłużać
się.
Alternatywnym
rozwiązaniem
jest
parametryzacja zmiennych x3 i x4 [2.].
209
•
(7)
wybór macierzy stanu obserwatora F
F = A r − K 1C ,
(8)
K 1 = K − FH
(9)
gdzie
określa
indywidualne wartości sprzężeń zwrotnych
zmieniające czułość i selektywność macierzy
stanu obserwatora.
5. Wyznaczenie warunków odsprzężenia
badanego modelu
Badając warunki odsprzężenia modeli (4) od
uchybów ξi,, należy sprawdzić czy spełnione są
przesłanki (5) i (7). W tym celu określa się
macierz wyjścia układu oraz macierze zakłóceń
reprezentowane przez (∂A/∂xi). Dla badanego
układu napędowego przyjęto, że prądy stojana
oraz prędkość kątowa wirnika są mierzalne.
Oznacza to, że dla przyjętych zmiennych stanu
macierz wyjścia przyjmuje następującą postać.
1 0 0 0 0 
C = 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
(10)
Niespełnienie warunku (5) przez macierze
zakłóceń w modelu (4) eliminuje z dalszych
rozważań możliwość odsprzężenia uchybów ξ3
i ξ4. Wskazuje to, że zakłócenia te wymagają
innego zbioru wielkości wyjściowych niż te,
które zostały przyjęte w równaniu (10).
Natomiast uchyby ξ1, ξ2 i ξ5 spełniają warunek
niezmienności wymiaru, co prowadzi do
możliwości wyznaczenia macierzy przejścia T(i)
(dla i=1,2,5).
Dla zmiennych ξ1 i ξ2 niezerowe elementy
macierzy zakłóceń ∂Α
Α⁄∂ξ1 oraz ∂Α
Α⁄∂ξ2
występują w ostatnich wierszach tych macierzy.
W konsekwencji nie można, niezależnie od
siebie odsprzęgać obu tych wielkości.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
210
Projektując macierz przejścia, jak w wyrażeniu
(11), układ staje się odporny jednocześnie na
zmienne ξ1 jak i zmienne ξ2.
T(1) = T ( 2)
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 


= 0 0 1 0 0 


0 0 0 1 0 
0 0 0 0 0
(11)
Natomiast projektując macierz przejścia T(5),
zauważyć można, że kolumny 1 i 3 oraz 2 i 4
macierzy zakłóceń ∂A⁄∂ξ5 są liniowo zależne.
Macierz zakłóceń ma więc wymiar 2, a warunki
odsprzężenia tej macierzy spełnia macierz
określona formułą (12)..
T ( 5)
0
 0
 0
0

= σ m Lm 0

 0 σ m Lm
 0
0
0 0 0
0 0 0
1 0 0

0 1 0
0 0 1
(12)
W rezultacie obydwu działań uzyskuje się
możliwość
sformułowania
dwóch
obserwatorów niewrażliwych na zmiany prądu
bądź prędkości obrotowej. Taka własność może
być wykorzystana do obliczenia uchybu
diagnostycznego
wskazującego
zgodność
układów pomiarowych prądu i prędkości. Tym
samym
uzyskać
można
warunki
do
identyfikacji, a w dalszej kolejności do
sporządzenia oceny diagnostycznej.
Macierz stanu F obserwatora skonstruowanego
na bazie modelu (4) zależy od przyjętej
macierzy przejścia T(i), macierzy wyjścia C
oraz macierzy sprzężeń zwrotnych K1. Można
ją otrzymać rozwiązując zależność (8), która
dla rozpatrywanego modelu daje w rezultacie
postać (13).

∂A
∂A
∂A 
F (i) = T (i)  A 0 +
ξ1 +
ξ2 +
ξ5  +
∂x1
∂x2
∂x5 

− K 1C
(13)
Uwzględniając własność macierzy T(1), która
uodparnia model na uchyby ξ1 i ξ2 macierz
stanu F(1) upraszcza się do następującej postaci:

∂A 
F (1) = T(1)  A 0 +
ξ 5  − K1C .
∂x5 

(14)
Obliczony w takim algorytmie wektor uchybu
diagnostycznego r(i) umożliwia sporządzenie
oceny zastosowanego przybliżenia układu
napędowego oraz oceny zgodności wielkości
estymowanej z wielkością pomiarową. Dla
przypadku (14) porównywane mogą być
zmienne
wyjściowe
prędkości
kątowej
i estymowane wartości tej prędkości.
Procedura odsprzęgania modelu dotyczyć może
również stacjonarnej macierzy Ao. Służy ona
wówczas do sporządzenia oceny poprawności
wyznaczenia wybranych parametrów tej
macierzy oraz diagnostycznej kontroli jej
parametrów.
Przygotowując model matematyczny, do tego
typu operacji, należy postępować analogicznie
jak w przypadku odsprzęgania uchybów
modelu (2). Przykładowo, dla uzmiennionych
parametrów ξ3 i ξ4, uzmienniony zostaje
parametr 1/σs, dając w rezultacie postać
macierzy odchyleń (15).
− 1
0 0 0 0
 τs

 0 − 1 0 0 0
τs
∂A

=  0
0
0
0
0

1
∂
σs 

0 0 0 0
 0
 0
0 0 0 0
(15)
Określając macierz wyjścia w postaci (15),
macierz przejścia Tσs uodparniająca układ od
zmian wartości parametru σs przyjmuje postać:
0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 


Tσ s = 0 0 1 0 0


0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1
(16)
Zastosowanie obserwatora odsprzężonego od
zmian wybranego parametru umożliwia
sporządzenie oceny poprawności wyznaczenia
tego parametru. Ocena ta jest podejmowana na
podstawie obliczonej wartości residuum (17).
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
1
1
rσ (t ) = −
σ σˆ
(17)
Ocena poprawności parametru obejmuje błędy
techniczne podczas identyfikacji układu
napędowego oraz błędy powstałe w wyniku
zaistnienia uszkodzeń lub pracy układu w
warunkach znacznie przekraczających warunki
znamionowe. Przedstawiony przykład związany
ze zmianami stałej rozproszenia σs obejmuje
zmiany reaktancji rozproszenia i reaktancji
magnesujących. Dotyczy to np. uszkodzeń
spowodowanych zwarciami międzyzwojowymi,
utratą symetrii lub zmianami szczeliny
powietrznej.
6. Podsumowanie
Przedstawiona
metoda
stwarza
nowe
możliwości badań diagnostycznych w zakresie
określania wybranych cech podzespołów
układu napędowego. Obecnie w Katedrze
Napędów
i
Maszyn
Elektrycznych
przygotowywane jest stanowisko badawcze
oparte na systemie prototypowania dSpace z
trzema kartami procesorowymi RTI 1006,
DS2101 oraz DS2001. Doświadczenia zespołu
wskazują, że system ten będzie wystarczający
do realizacji przedstawionych w artykule
funkcji.
Przedstawiana metoda już wcześniej była
testowana w wymienionym zespole. Jednak
parametry ówczesnego układu laboratoryjnego
były niewystarczające, stąd obecnie powrócono
do testowania tej metody.
Zdaniem autora, przedstawiona prezentacja tej
metody pozwoli spojrzeć na zagadnienia
monitorowania i diagnostyki w zdecydowanie
szerszy sposób, w sposób, który w środowisku
osób zajmujących się teorią sterowania i
napędami elektrycznymi wykorzystywany jest
od wielu lat. Wspomnieć tu można systemy
odtwarzania zmiennych z wykorzystaniem
obserwatorów Luenbergera pani prof. Teresy
Orłowskiej-Kowalskiej [5], czy układy
z adaptacyjne z
odniesienia [6].
referencyjnym
211
modelem
7. Literatura
[1]. Chen Jie, Patton R.J.: Robust model-based fault
diagnosis for dynamic systems. Kluwer Academic
Publishers, 1999
[2]. Jarzyna W: Diagnostyka napędów elektrycznych
w
oparciu
o
struktury
obserwatorów
odprzęgających. Zeszyty Problemowe – Maszyny
Elektryczne Nr 72/2005
[3]. Hamdaoui, R., Guesmi, S., El Harabi, R.: UIO
based robust fault detection and estimation. 2013
International Conference on Control, Decision and
Information Technologies (CoDIT), Page(s): 076 081 IEEE Digital Database
[4]. Cao Songyin, Guo Lei, Yi Yang: Robust
adaptive fault diagnosis approach based on
disturbance observer. 2011 30th Chinese Control
Conference (CCC), Page(s): 4340 – 4345, IEEE
Digital Database
[5].
Orłowska-Kowalska
T:.:
Obserwatory
zmiennych stanu i parametrów w układach
sterowania silników indukcyjnych klatkowych. Prace
Instytutu
Układów
Elektromaszynowych
Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 1990.
[6]. Amerongen, J. van, A MRAS-based Learning
Feed-forward Controller, MECHATRONICS 2006 4th IFAC-Symposium on Mechatronic Systems,
Heidelberg, Germany, September 12th-14th, 2006,
pp. 6, 2006.
Autor
Dr hab. inż. Wojciech Jarzyna, prof. PL,
Katedra Napędów i Maszyn Elektrycznych,
Politechnika Lubelska, ul. Nadbystrzycka 38A,
20-618 Lublin, e-mail: [email protected]
Podziękowania
Prace badawcze zrealizowane zostały w ramach
zadania badawczego: S31/E/2014 działalności
statutowej
Wydziału
Elektrotechniki
i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Koszty
publikacji pokryte zostały z projektu
Politechnika przyszłości- dostosowanie oferty
do potrzeb rynku pracy i GOW” nr
POKL.04.03.00-00-129/12