Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 4 Para Coopera

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 4
Para Coopera
Jan Kaczmarczyk
20.03.2012
1
Wstęp
W 1911 roku Kamerlingh Onnes odkrył [1], że oporność rtęci w temperaturach kilku Kelwinów spada do zera (patrz rys. 1). Na wyjaśnienie tego zjawiska przyszło poczekać do roku
1957, kiedy Bardeen, Cooper i Schrieffer opublikowali słynny artykuł Microscopic Theory of
Superconductivity [2]. Zanim do tego doszło wiele problemów musiało zostać rozwiązanych.
Pojawiały się kolejne wskazówki dotyczące nietypowego stanu nadprzewodzącego obecnego w
niskich temperaturach. Pewne eksperymenty wskazywały na to, że podstawowym ładunkiem
w nadprzewodniku jest nie e, ale 2e. Sugerowało to łączenie się elektronów w pary w stanie
nadprzewodzącym. Pomysł ten budził wiele kontrowersji. Oczywistym jest, że ”zwykłe” elektrony odpychają się bowiem zgodnie z prawem Coulomba. Jak zmusić takie elektrony, żeby
połączyły się w stan związany?!
Rozwiązanie jest dosyć intuicyjne. Po pierwsze trzeba ograniczyć ich odpychanie, a po drugie
wprowadzić oddziaływanie przyciągające ;).
Elektrony w ciele stałym oddziałują silnie z otoczeniem i dzięki temu ich odpychanie jest
mocno ekranowane spadając eksponencjalnie dla dużych odległości. W pierwszym przybliżeniu
można więc je zaniedbać.
Nie zagłębiając się w aspekty oddziaływania przyciągającego elektronów spróbujcie wprowadzić taki potencjał parujący, który będzie matematycznie najprostszy i który zwiąże elektrony
w parę. Rozwiązania tego problemu dostarczył L. Cooper na rok przed sformułowaniem teorii
BCS [3].
Rysunek 2 pokazuje, że nadprzewodnictwo jest ważną gałęzią nie tylko nauki, ale także przemysłu, więc warto je studiować!
2
Zadania
Zad. 1. Normalny metal - przypomnienie
Stany jednocząstkowe
Opisz stany jednocząstkowe w metalu zakładając w najprostszym przypadku, że potencjał
oddziaływania elektronów między sobą oraz z siecią jest zerowy. Do znalezienia stanu własnego
1
Rysunek 1: Oporność rtęci w niskich temperaturach [1].
Rysunek 2: Zastosowania nadprzewodnictwa [4].
2
układu posłuży oczywiście równanie Schrödingera niezależne od czasu
HΨ(x) = EΨ(x),
(1)
gdzie hamiltonian jednocząstkowy dany jest przez (cząstka swobodna)
h̄2 2
∇.
(2)
H=−
2m
Po rozwiązaniu równania Schrödingera załóż, że obowiązują tzw. warunki brzegowe Bornavon Kàrmana
Ψ(x) ≡ Ψ(x + L),
L = [n1 L1 , n2 L2 , n3 L3 ], ni = 0, 1, 2, ...
(3)
Wielkości Li są wymiarami układu. Z warunków tych powinieneś otrzymać spektrum dozwolonych wartości wektora falowego k ≡ p/h̄.
Znormalizuj otrzymane rozwiązanie w taki sposób, aby prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w całej objętości układu V = L1 L2 L3 było równe 1.
Jaka jest zależność energii od wektora falowego? (zależność tą nazywamy relacją dyspersji)
Jaka jest gęstość stanów w przestrzeni wektorów falowych k (tzw. przestrzeni odwrotnej)? Gęstość stanów mówi nam, na jaką objętość Ω w przestrzeni odwrotnej przypada jeden
stan
ρk ≡
1
.
Ω
(4)
Gaz elektronów swobodnych, morze Fermiego
Załóżmy teraz, że mamy w metalu (3-wymiarowym) elektrony o spinie s = 1/2. Chcemy opisać te elektrony przy pomocy stanów wprowadzonych powyżej. Oczywiście mamy do czynienia
z fermionami, czyli w konkretnym stanie jednocząstkowym może znajdować się tylko jeden
elektron. W konsekwencji elektrony zapełniają poziomy jednocząstkowe od tych o najniższej
energii. Najwyższą energię obsadzonego poziomu jednocząstkowego nazywamy energią Fermiego, natomiast wektor falowy jej odpowiadający wektorem Fermiego. Pokaż, że wielkości
te są równe
N
kF = 3π 2
V
!1/3
;
h̄2
N
F =
3π 2
2m
V
!2/3
,
(5)
gdzie N jest liczbą cząstek (elektronów) w objętości V .
Wskazówka: Liczba cząstek jest równa liczbie obsadzonych stanów, a tą możemy związać z
wektorem Fermiego korzystając z geometrii i znając gęstość stanów w przestrzeni odwrotnej.
Zad. 2. Stan związany dwóch elektronów
Przypomnij sobie, jak konstruowaliśmy rozwiązanie dla drgającego ostrza mikroskopu AFM.
Spróbuj w podobnym duchu wprowadzić funkcję falową 2 elektronów oddziałujących, przy
czym funkcje bazowe to w tym przypadku fale płaskie
1
Ψk (r) = √ eikr .
V
3
(6)
Na hamiltonian dwucząstkowy dla opisywanych elektronów składają się teraz części kinetyczne
oraz potencjał parujący
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V̂
(7)
2m
2m 2
Wykonaj transformację (a najlepiej ją zgadnij) Hamiltonianu i funkcji falowej do współrzędnych środka masy oraz względnych.
Otrzymane równanie Schrödingera jest bardzo podobne do równania Newtona dla ostrza AFM.
Możemy więc zastosować podobną metodę rozwiązywania.
R
0
Przy rozwiązywaniu użyteczna jest tożsamość V1 V eikr e−ik r d3 r = δkk0 , natomiast całka Vk0 k ≡
R
0
1
e−ik r V (r)eikr d3 r to po prostu element macierzowy potencjału parującego. Potencjał Vk0 k
V V
wprowadź w takiej postaci, która daje najprostsze równanie Schrödingera. Pamiętaj jednak o
zakazie Pauliego, który sprawia, że elektrony mogą oddziaływać tylko w wąskim pasku ponad
powierzchnią Fermiego: k ∈ [F , F + h̄ωD ], gdzie h̄ωD jest parametrem.
Energię układu dwóch elektronów zapisz jako
Ĥ = −
E = 2F − ∆.
(8)
Interpretacja takiego zapisu energii jest następująca: gdyby parowania nie było to oba elektrony zajęłyby najwyżej położony nieobsadzony poziom (ich energia wówczas byłaby równa
2F ). Skoro elektrony oddziałują, to ich energia ulega zmniejszeniu o wielkość ∆, nazywaną
energią wiązania.
W równaniu, które otrzymasz możesz zamienić sumę na całkę według znanej reguły
X
(...) =
Z
dkρσ (k)(...) =
Z
dρ()(...),
(9)
k
gdzie ρσ (k) =
V
(2π)3
h̄2 k2
2m
i ρ() to odpowiednie gęstości stanów (możesz założyć, że znane jest ρ()),
jest energią kinetyczną elektronu.
natomiast =
Możesz też założyć, że obszar całkowania jest wąski, tzn. h̄ωD F , co w istocie zachodzi,
gdyż w typowym metalu F ≈ 1 eV , h̄ωD ≈ 0, 01 eV . Możesz więc przybliżyć wartość ρ()
przez ρ(F ). Pozwala to obliczyć całkę otrzymując
2h̄ωD
,
2
e V0 ρ(F ) − 1
gdzie ρ() jest gęstością stanów na powierzchni Fermiego.
∆=
(10)
Literatura
[1] H.K. Onnes, Commun. Phys. Lab. 12, 120 (1911).
[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
[3] L. Cooper, Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys. Rev. 104, 1189 (1956).
[4] http://global-sei.com/super/about e/application.html
4
3
Rozwiązania
Zadanie 1. jest elementarne i nie będziemy go tutaj rozwiązywać (rozwiązanie można znaleźć
w podręcznikach ciała stałego)
Omówimy tutaj rozwiązanie problemu Coopera z pewną modyfikacją (wprowadzenie obszarów Wi ) na podstawie pracy magisterskiej [1].
Sformułowanie problemu
Rozważmy parę oddziałujących ze sobą dwóch elektronów w obecności morza Fermiego nieoddziałujących elektronów. Rozpatrywane elektrony oddziałują między sobą, ale nie z elektronami morza Fermiego. Jest to dość sztuczne założenie, ale bardzo pouczające. Będziemy
chcieli obliczyć energię takiego układu dwóch elektronów w temperaturze 0 K w zależności
od wielkości potencjału parującego oraz parametrów pasywnego morza Fermiego. W tym celu
rozwiązujemy niezależne od czasu równanie Schrödingera
HΨ(r1 , r2 , σ1 , σ2 ) = EΨ(r1 , r2 , σ1 , σ2 ),
(11)
gdzie
H=−
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V (r1 , r2 ).
2m
2m 2
(12)
2
h̄
Jak widać, hamiltonian składa się tylko z części kinetycznych dla obu elektronów − 2m
∇2i , i =
1, 2 oraz z efektywnego potencjału oddziaływania V (r1 , r2 ). O potencjale tym zakładamy,
że zależy jedynie od odległości między elektronami V (r1 , r2 ) = V (r), gdzie r = r1 − r2 .
W szczególności potencjał ten nie zależy od spinu elektronów, dzięki czemu funkcja falowa
separuje się na część przestrzenną i spinową, jako że hamiltonian (12) jest niezależny od
spinu, tj.
Ψ(r1 , r2 , σ1 , σ2 ) = Φ(r1 , r2 )χ(σ1 , σ2 ).
(13)
Na razie interesował nas będzie stan singletowy, w którym χ(σ1 , σ2 ) = √12 (|1 ↑i|2 ↓i − |1 ↓
i|2 ↑i).
Przestrzenną funkcję falową konstruujemy standardowo jako superpozycję stanów bazowych funkcji falowych elektronów nieoddziałujących. Używamy tu najprostszych funkcji falowych,
tzn. opisujących nieoddziałujące elektrony w pudle o objętości V przy periodycznych warunkach brzegowych. Funkcje te to fale płaskie1
1
Ψk (r) = √ eikr ,
V
przy czym czynnik
h̄2 k2
√1
V
(14)
wynika z normalizacji. Energia stanu o wektorze falowym k wynosi
Ek = 2m . Najwyższy obsadzony poziom nazywamy poziomem Fermiego. Poziom ten ma
2
kF 2
energię F = h̄ 2m
, gdzie kF jest wektorem falowym Fermiego. Można policzyć, że dla N
elektronów w układzie trójwymiarowym kF = (3π 2 N
)1/3 . Tak więc, przestrzenna funkcja
V
falowa w naszym problemie dwóch elektronów będzie miała postać
1
Nie używamy funkcji falowych Blocha, gdyż dla zjawiska nadprzewodnictwa, które chcemy opisać, detale
struktury elektronowej mają drugorzędne znaczenie.
5
Φ(r1 , r2 ) =
X
αk1 ,k2 Ψk1 (r1 )Ψk2 (r2 ) =
k1 ,k2
1 X
αk ,k eik1 r1 +ik2 r2 .
V k1 ,k2 1 2
(15)
Wiadomo z twierdzenia spin-statystyka, że funkcja falowa elektronów, jako fermionów, musi
być antysymetryczna ze względu na przestawienie cząstek2 , tzn. musi zmieniać znak przy
transformacji (r1 , σ1 ) ↔ (r2 , σ2 )
Ψ(r1 , r2 , σ1 , σ2 ) = −Ψ(r2 , r1 , σ2 , σ1 ).
(16)
Z postaci (13) funkcji falowej wynika, że skoro część spinowa funkcji Ψ(r1 , r2 , σ1 , σ2 ) dla założonego stanu singletowego jest antysymetryczna χ(σ1 , σ2 ) = −χ(σ2 , σ1 ), to część przestrzenna
musi być symetryczna Φ(r1 , r2 ) = Φ(r2 , r1 ). Zauważmy, że symetria Φ(r1 , r2 ) = Φ(r2 , r1 )
narzuca symetrię współczynników αk1 ,k2 = αk2 ,k1 . Można sprawdzić, że przedstawione rozwiązanie spełnia ten warunek.
Rozwiązanie problemu Coopera
Oddziaływanie V (r) zachowuje pęd środka masy, więc możemy się spodziewać uproszczenia
problemu przy przejściu do współrzędnych środka masy
R=
r1 + r2
;
2
Q = k1 + k2
(17)
oraz do współrzędnych względnych
k1 − k2
.
(18)
2
Funkcja falowa Φ(R, r) oraz hamiltonian w nowych zmiennych przedstawiają się następująco
r = r1 − r2 ;
Φ(R, r) =
H=−
k=
1 iQR X
e
αk eikr ,
V
k
h̄2 2
h̄2 2
∇R −
∇ + V (r).
2M
2µ r
(19)
(20)
W powyższym wyrażeniu µ oznacza masę efektywną układu cząstek oddziałujących (w tym
przypadku µ = m2 ), M jest całkowitą masą układu (M = 2m), natomiast symbole ∇R oraz ∇r
oznaczają operator gradientu we współrzędnych R oraz r odpowiednio. Sumowanie w wyrażeniu (19) odbywa się tylko po pędzie względnym k, gdyż pęd środka masy Q jest zachowany.
Po wstawieniu funkcji falowej (19) do równania Schrödingera z hamiltonianem (20) otrzymujemy
" 2
h̄ Q2 h̄2 k2
1 iQR X
+
+ V (r) − E
e
αk eikr = 0.
2M
2µ
V
k
#
0
(21)
Mnożąc powyższe równanie przez e−iQR e−ik r , aR następnie wykonując całkę w zmiennych r
0
po całej objętości V i korzystając ze związku V1 V eikr e−ik r d3 r = δkk0 , dostajemy
2
Traktujemy tutaj spin jako współrzędną dychotomiczną, nie jako liczbę kwantową.
6
!
X
h̄2 Q2 h̄2 k0 2
1 Z −ik0 r
+
− E αk0 +
αk
e
V (r)eikr d3 r = 0.
2M
2µ
V
V
k
(22)
0
e−ik r V (r)eikr d3 r, energię
Oznaczając element macierzowy potencjału parującego Vk0 k ≡ N
V V
2 2
2 2
Q
oraz energię kinetyczną ruchu względnego k ≡ h̄2µk ,
kinetyczną ruchu środka masy Q ≡ h̄2M
otrzymujemy z (22) po prostych przekształceniach równanie na współczynniki αk w postaci
(zmieniliśmy indeksy k ↔ k0 )
R
P
1 k0 Vkk0 αk0
αk = −
.
N Q + k − E
(23)
Dalsze postępowanie zależy od tego, jaką przyjmiemy postać potencjału parującego Vkk0 . Potencjał ten może być opisywany skomplikowanymi wyrażeniami, jednak chodzi nam tutaj o
uchwycenie najważniejszej fizyki problemu. Przyjmiemy więc, tak jak w oryginalnej pracy Coopera [3], że przyciągający potencjał jest stały w wąskiej warstwie powyżej poziomu Fermiego,
tj.
(
Vkk0 =
2
2
2
2
h̄2 k0
2
h̄2 k0
2
k1
k2
−V0 , dla h̄ 2m
, h̄ 2m
, 2m1 , 2m2 ∈ [F , F + h̄ωD ],
0,
w pozostałych przypadkach,
(24)
gdzie F jest energią Fermiego, natomiast h̄ωD to energia Debye’a wyznaczająca szerokość
obszaru powyżej powierzchni Fermiego, w którym wartość potencjału parującego jest niezerowa. Energia Debye’a jest maksymalną energią fononów akustycznych w układzie. Postać
powyższych warunków wynika z faktu, że oddziaływanie między elektronami, prowadzące do
zjawiska nadprzewodnictwa, odbywa się za pośrednictwem fononów.
Potencjał Vkk0 powinien być explicite funkcją k oraz k0 , czyli pędów względnych otrzymanych
z k1 , k2 , k01 , k02 po przejściu do układu środka masy. Trzeba więc z warunków w przestrzeniach
k1 , k2 , k01 , k02 przejść na warunki w przestrzeniach k oraz k0 . W tym celu obszary w przestrzeni
k1 i k2 (podobnie k01 oraz k02 ), dla których potencjał przyjmuje niezerową wartość oznaczymy
odpowiednio W1 i W2
h̄2 k2
¬ F + h̄ωD }, i = 1, 2.
Wi = {k | F ¬
2mi
(25)
W obecnym przypadku równych mas (m1 = m2 = m) obszary W1 i W2 są oczywiście ekwiwalentne. Na podstawie transformacji do układu środka masy (17, 18) warunki (25) przekładają
się na warunki w przestrzeni k oraz k0 . Oznaczmy więc
k1 − k2
| k1 ∈ W1 ∧ k2 ∈ W2 ∧ Q = k1 + k2 }.
2
Ostatecznie wyrażenie (24) na potencjał możemy zatem zapisać jako
W Q = {k =
(
Vkk0 =
−V0 , dla k, k0 ∈ W Q ,
0,
dla k ∈
/ W Q ∨ k0 ∈
/ W Q.
(26)
(27)
Widać stąd, że oddziałuje tylko taka para elektronów, której pęd względny należy do W Q .
Co więcej, oddziaływanie nie wyprowadza pędu względnego pary poza ten obszar. Oczywiście
W Q zależy od pędu środka masy Q, który jest stałym parametrem (całką ruchu). W dalszej
części scharakteryzujemy dokładniej obszar W Q .
7
Po wykorzystaniu otrzymanej postaci potencjału (27) równanie (23) przyjmuje prostszą postać
αk =
P

 V0 k0 ∈W Q αk0
,
Q +k −E
N

0,
dla k ∈ W Q ,
dla k ∈
/ W Q.
(28)
Z równania tego wynika, że stany spod poziomu Fermiego nie występują w superpozycji (19),
co jest zgodne z zakazem Pauliego - stany te są bowiem obsadzone. Sumując stronami po
k ∈ W Q otrzymujemy
X
αk =
k∈W Q
Po podzieleniu stronami przez
postaci
X
V0 X
1
αk0
.
N k0 ∈W
Q + k − E
k∈W
Q
P
k∈W Q
1=
(29)
Q
αk dostajemy równanie całkowe na energię pary w
V0 X
1
.
N k∈W Q + k − E
(30)
Q
Po chwili zastanowienia możemy oznaczyć energię układu - dwóch oddziałujących elektronów
- jako
E = 2F − ∆.
(31)
Interpretacja powyższego oznaczenia jest następująca: gdyby oddziaływania nie było, energia
elektronów byłaby równa 2F , czyli elektrony obsadziłyby stany o najniższej energii dostępnej
przy uwzględnieniu zakazu Pauliego. Skoro jednak występuje oddziaływanie, to energia ulega zmniejszeniu o wielkość ∆ zwaną energią wiązania. Dla nieoddziałującej pary elektronów
mamy oczywiście ∆ = 0.
Wstawiając wyrażenie na energię pary do równania (30) dostajemy
X
1
N
.
=
V0 k∈W Q + k − 2F + ∆
(32)
Q
Zastanówmy się przez chwilę nad fizyką wynikającą z tego równania. Widać, że ∆ jest monotoniczną funkcją potencjału parującego V0 , co nie powinno dziwić (im mocniejszy potencjał
parujący, tym większa energia wiązania). Możemy także wywnioskować, że największą energię
wiązania przy ustalonym potencjale V0 dostaniemy, gdy duży będzie zakres sumowania (obszar
W Q ) oraz dla znacznej części obszaru sumowania mały będzie mianownik Q + k − 2F + ∆.
Oba te warunki są najlepiej spełnione dla zerowego pędu środka masy pary Q. Dla takiej,
nieruchomej pary Q = 0 oraz zakres całkowania jest maksymalny z możliwych.
Mamy więc Q = 0, co po skorzystaniu z praw transformacji daje Q = k1 + k2 = 0 ⇒ k1 =
−k2 , skąd wynika (patrz rys. 3)
k=
k1 − k2
= k1 = −k2 ,
2
(33)
h̄2 k2
¬ F + h̄ωD }.
(34)
2m
Równość obszarów W1 , W2 oraz W Q jest powodem, dla którego przy omawianiu problemu
Coopera nigdzie nie można natknąć się na taki sposób wprowadzenia potencjału, jak tutaj. Z
W1 = W2 = W Q = {k|F ¬
8
Rysunek 3: Konfiguraja pędowa elektronów tworzących parę Coopera. Wektor ka jest zdefinio2
ka 2
= F + h̄ωD . Część zakreskowana definiuje obszar W Q , w którym potencjał
wany przez h̄ 2m
parujący jest różny od zera. Pęd środka masy pary Q = 0.
reguły od razu wypisywana jest następująca postać potencjału równoważna (przy Q = 0) z
(27)
(
Vkk0 =
−V0 , dla
0,
dla
h̄2 k2 h̄2 k0 2
, 2m ∈ [F , F + h̄ωD ],
2m
2 02
h̄2 k2
k
∈
/ [F , F + h̄ωD ] ∨ h̄2m
2m
Zauważmy, że występująca tu wielkość
h̄2 k2
2m
(35)
∈
/ [F , F + h̄ωD ].
jest równa połowie energii k =
h̄2 k2
,
2µ
gdyż µ =
m
2
h̄2 k2
.
(36)
k = 2
2m
Wracając do naszego problemu, równanie na przerwę (32) przy założeniu zerowego pędu środka
masy pary Q = 0 wygląda następująco
N
=
V0
1
X
2 k2
F ¬ h̄2m
¬F +h̄ωD
2
h̄2 k2
2m
− 2F + ∆
.
(37)
Skorzystaliśmy tu z postaci obszaru W Q dla Q = 0 oraz z faktu, że Q = 0. Zamieniając sumę
na całkę według znanej reguły
X
(...) =
Z
dkρσ (k)(...) =
Z
dρ()(...),
(38)
k
V
gdzie ρσ (k) = (2π)
3 i ρ() to gęstości stanów w odpowiednich przestrzeniach, natomiast =
jest jednocząstkową energią kinetyczną elektronu, dostajemy
h̄2 k2
2m
Z F +h̄ωD
N
1
=
dρ()
.
(39)
V0
2 − 2F + ∆
F
Zakładając, że obszar całkowania jest wąski, tzn. h̄ωD F , co w istocie zachodzi, gdyż w
typowym metalu F ≈ 1 eV , h̄ωD ≈ 0, 01 eV , możemy przybliżyć wartość ρ() przez ρ(F ).
Pozwala nam to obliczyć całkę otrzymując
9
2h̄ωD
,
(40)
2
e V0 ρ(F ) − 1
gdzie ρ() jest gęstością stanów na jedną cząstkę. Podsumowując, wyprowadziliśmy wzór na
energię wiązania pary Coopera ∆ w zależności od potencjału parującego V0 , gęstości stanów
na 1 cząstkę na poziomie Fermiego ρ(F ) ≡ ρ(F )/N oraz maksymalnej energii fononów w
układzie h̄ωD . Dla konwencjonalnych nadprzewodników ∆ jest rzędu 10 K. Spełnione są więc
relacje
∆=
F h̄ωD ∆.
(41)
Z równania (28) możemy wyliczyć współczynniki αk
( V /N
0
αk ∝
k −E
0,
, dla k ∈ W Q ,
dla k ∈
/ W Q,
(42)
P
gdzie wykorzystaliśmy to, że k0 ∈W Q αk0 nie zależy od k oraz Q = 0. Korzystając z równania
na współczynniki możemy także skonstruować funkcję falową pary w przestrzeni rzeczywistej.
Zgodnie z równaniem (19) część przestrzenna funkcji falowej wynosi
1 iQR X
e
αk eikr = ψ(R) φ(r),
V
k
X
1
V0 /N ikr
1
φ(r) = √
e ; ψ(R) = √ eiQR .
V k∈W k − E
V
Φ(R, r) =
(43)
(44)
Q
Okazuje się, że rozmiar pojedynczej pary Coopera jest rzędu 1000 Å. W obszarze o takim
promieniu mieściłoby się mniej więcej 106 środków ciężkości innych par Coopera, jeśli wszystkie elektrony typowego metaly byłyby sparowane. Zatem funkcje falowe poszczególnych par
przekrywają się bardzo silnie. Oznacza to, że dwuciałowa teoria pary Coopera jest niedokładna, gdyż nie uwzględnia efektów wielociałowych - korelacji między parami. W ogólności,
wyodrębnienie dwóch elektronów z morza Fermiego i zaniedbanie ich oddziaływania z resztą
jest przybliżeniem nierealistycznym, a poza tym łamie ono zasadę nierozróżnialności cząstek.
Podejście wielociałowe do problemu parowania się wszystkich elektronów dostarcza teoria
Bardeena, Coopera i Schrieffera [2] (w skrócie: teoria BCS).
Dla zainteresowanych: Sformułowanie i rozwiązanie problemu parowania elektronów w ciekawszym przypadku mas zależnych od spinu można znaleźć w pracy magisterskiej [1]
Literatura
[1] J. Kaczmarczyk, Praca magisterska, Uniwersytet Jagielloński, Kraków, 2007.
http://kaczek.googlepages.com/MGR4.pdf; J. Kaczmarczyk and J. Spałek, Phys.
Rev. B 79, 214519 (2009).
[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
[3] L. Cooper, Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys. Rev. 104, 1189 (1956).
10