Cooper Pair

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 4
Para Coopera
Jan Kaczmarczyk, Jan Major
20.03.2014
1
Wstęp
W 1911 roku Kamerlingh Onnes odkrył [1], że oporność rtęci w temperaturach kilku Kelwinów spada do zera (patrz rys. 1). Na wyjaśnienie tego zjawiska przyszło poczekać do roku
1957, kiedy Bardeen, Cooper i Schrieffer opublikowali słynny artykuł Microscopic Theory of
Superconductivity [2]. Zanim do tego doszło wiele problemów musiało zostać rozwiązanych.
Pojawiały się kolejne wskazówki dotyczące nietypowego stanu nadprzewodzącego obecnego w
niskich temperaturach. Pewne eksperymenty wskazywały na to, że podstawowym ładunkiem
w nadprzewodniku jest nie e, ale 2e. Sugerowało to łączenie się elektronów w pary w stanie
nadprzewodzącym. Pomysł ten budził wiele kontrowersji. Oczywistym jest, że ”zwykłe” elektrony odpychają się bowiem zgodnie z prawem Coulomba. Jak zmusić takie elektrony, żeby
połączyły się w stan związany?!
Rozwiązanie jest dosyć intuicyjne. Po pierwsze trzeba ograniczyć ich odpychanie, a po drugie
wprowadzić oddziaływanie przyciągające ;).
Elektrony w ciele stałym oddziałują silnie z otoczeniem i dzięki temu ich odpychanie jest
mocno ekranowane spadając eksponencjalnie dla dużych odległości. W pierwszym przybliżeniu
można więc je zaniedbać.
Nie zagłębiając się w aspekty oddziaływania przyciągającego elektronów spróbujcie wprowadzić taki potencjał parujący, który będzie matematycznie najprostszy i który zwiąże elektrony
w parę. Rozwiązania tego problemu dostarczył L. Cooper na rok przed sformułowaniem teorii
BCS [3].
Rysunek 2 pokazuje, że nadprzewodnictwo jest ważną gałęzią nie tylko nauki, ale także przemysłu, więc warto je studiować!
2
Zadania
Zad. 1. Normalny metal - przypomnienie
Stany jednocząstkowe
Opisz stany jednocząstkowe w metalu zakładając w najprostszym przypadku, że potencjał
oddziaływania elektronów między sobą oraz z siecią jest zerowy. Do znalezienia stanu własnego
1
Rysunek 1: Oporność rtęci w niskich temperaturach [1].
Rysunek 2: Zastosowania nadprzewodnictwa [4].
2
układu posłuży oczywiście równanie Schrödingera niezależne od czasu
HΨ(x) = EΨ(x),
(1)
gdzie hamiltonian jednocząstkowy dany jest przez (cząstka swobodna)
h̄2 2
∇.
(2)
H=−
2m
Po rozwiązaniu równania Schrödingera załóż, że obowiązują tzw. warunki brzegowe Bornavon Kàrmana
Ψ(x) ≡ Ψ(x + L),
L = [n1 L1 , n2 L2 , n3 L3 ], ni = 0, 1, 2, ...
(3)
Wielkości Li są wymiarami układu. Z warunków tych powinieneś otrzymać spektrum dozwolonych wartości wektora falowego k ≡ p/h̄.
Znormalizuj otrzymane rozwiązanie w taki sposób, aby prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w całej objętości układu V = L1 L2 L3 było równe 1.
Jaka jest zależność energii od wektora falowego? (zależność tą nazywamy relacją dyspersji)
Jaka jest gęstość stanów w przestrzeni wektorów falowych k (tzw. przestrzeni odwrotnej)? Gęstość stanów mówi nam, na jaką objętość Ω w przestrzeni odwrotnej przypada jeden
stan
ρk ≡
1
.
Ω
(4)
Gaz elektronów swobodnych, morze Fermiego
Załóżmy teraz, że mamy w metalu (3-wymiarowym) elektrony o spinie s = 1/2. Chcemy opisać te elektrony przy pomocy stanów wprowadzonych powyżej. Oczywiście mamy do czynienia
z fermionami, czyli w konkretnym stanie jednocząstkowym może znajdować się tylko jeden
elektron. W konsekwencji elektrony zapełniają poziomy jednocząstkowe od tych o najniższej
energii. Najwyższą energię obsadzonego poziomu jednocząstkowego nazywamy energią Fermiego, natomiast wektor falowy jej odpowiadający wektorem Fermiego. Pokaż, że wielkości
te są równe
N
kF = 3π 2
V
!1/3
;
h̄2
N
F =
3π 2
2m
V
!2/3
,
(5)
gdzie N jest liczbą cząstek (elektronów) w objętości V .
Wskazówka: Liczba cząstek jest równa liczbie obsadzonych stanów, a tą możemy związać z
wektorem Fermiego korzystając z geometrii i znając gęstość stanów w przestrzeni odwrotnej.
Zad. 2. Stan związany dwóch elektronów
Przypomnij sobie, jak konstruowaliśmy rozwiązanie dla drgającego ostrza mikroskopu AFM.
Spróbuj w podobnym duchu wprowadzić funkcję falową 2 elektronów oddziałujących, przy
czym funkcje bazowe to w tym przypadku fale płaskie
1
Ψk (r) = √ eikr .
V
3
(6)
Na hamiltonian dwucząstkowy dla opisywanych elektronów składają się teraz części kinetyczne
oraz potencjał parujący
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V̂
(7)
2m
2m 2
Wykonaj transformację (a najlepiej ją zgadnij) Hamiltonianu i funkcji falowej do współrzędnych środka masy oraz względnych.
Otrzymane równanie Schrödingera jest bardzo podobne do równania Newtona dla ostrza AFM.
Możemy więc zastosować podobną metodę rozwiązywania.
R
0
Przy rozwiązywaniu użyteczna jest tożsamość V1 V eikr e−ik r d3 r = δkk0 , natomiast całka Vk0 k ≡
R
0
1
e−ik r V (r)eikr d3 r to po prostu element macierzowy potencjału parującego. Potencjał Vk0 k
V V
wprowadź w takiej postaci, która daje najprostsze równanie Schrödingera. Pamiętaj jednak o
zakazie Pauliego, który sprawia, że elektrony mogą oddziaływać tylko w wąskim pasku ponad
powierzchnią Fermiego: k ∈ [F , F + h̄ωD ], gdzie h̄ωD jest parametrem.
Energię układu dwóch elektronów zapisz jako
Ĥ = −
E = 2F − ∆.
(8)
Interpretacja takiego zapisu energii jest następująca: gdyby parowania nie było to oba elektrony zajęłyby najwyżej położony nieobsadzony poziom (ich energia wówczas byłaby równa
2F ). Skoro elektrony oddziałują, to ich energia ulega zmniejszeniu o wielkość ∆, nazywaną
energią wiązania.
W równaniu, które otrzymasz możesz zamienić sumę na całkę według znanej reguły
X
(...) =
Z
dkρσ (k)(...) =
Z
dρ()(...),
(9)
k
gdzie ρσ (k) =
V
(2π)3
h̄2 k2
2m
i ρ() to odpowiednie gęstości stanów (możesz założyć, że znane jest ρ()),
jest energią kinetyczną elektronu.
natomiast =
Możesz też założyć, że obszar całkowania jest wąski, tzn. h̄ωD F , co w istocie zachodzi,
gdyż w typowym metalu F ≈ 1 eV , h̄ωD ≈ 0, 01 eV . Możesz więc przybliżyć wartość ρ()
przez ρ(F ). Pozwala to obliczyć całkę otrzymując
2h̄ωD
,
2
e V0 ρ(F ) − 1
gdzie ρ() jest gęstością stanów na powierzchni Fermiego.
∆=
(10)
Zad. 3. SQUID [5]
Na poprzednich zajęciach zbadaliśmy zachowanie złącza Josepshona. W przypadku cieczy nadciekłej mamy do czynienia z dwoma zbiornikami połączonymi otworem nanometrowej średnicy,
pojawia się wtedy ciekawy efekt – przyłożenie stałej różnicy ciśnień powoduje, że ciecz przepływa między zbiornikami oscylacyjnie.
W przypadku nadprzewodników (gdzie ten efekt był najpierw zbadany) przekłada się to na
stałe napięcie (różnicę potencjałów) i oscylujący prąd. SQUID to układ dwu złączy Josepshona
(JJ) ułożonych jak na rysunku 3. Układ taki pozwala na ultraczułą detekcję pól magnetycznych (rzędu 5 · 10−18 T ).
4
Rysunek 3: Schemat SQUIDa.
1. Zastanów się jaki będzie prąd płynący przez układ dla stałego napięcia na stykach?
2. Co się stanie jeśli strumień pola magnetycznego przez przez pętle SQUIDa będzie niezerowy?
• Pętla nadprzewodnika wypycha pole magnetyczne nieprzekraczające pewnej wartości Φ0 . W jaki sposób?
• Przypomnij sobie jak zdefiniowana była prędkość w nadciekłej cieczy. Pamiętaj, że
w tym przypadku prędkość przepływu przekłada się na natężenie prądu.
• Jak zmieniają się prądy płynące przez dolną i górną gałąź układu?
• Jaki jest wynik sumowania tych natężeń?
3. W analogii do SQUIDa powstał układ w którym używa się nadciekłego helu: SHeQUID
(technicznie było to znacznie trudniejsze). Do jakich pomiarów można zastosować takie
urządzenie?
Literatura
[1] H.K. Onnes, Commun. Phys. Lab. 12, 120 (1911).
[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
[3] L. Cooper, Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys. Rev. 104, 1189 (1956).
[4] http://global-sei.com/super/about e/application.html
[5] Y. Sato, R. E. Packard, Superfluid helium quantum interference devices: physics and applications, Rep. Prog. Phys. 75 016401 (2012)
5