Wykład 6 Własności działań na macierzach Zakładamy

Wykład 6
Własności działań na macierzach
Zakładamy, że macierze A, B, C są takie, że działania są określone.
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. (A · B) · C = A · (B · C)
4. A · (B + C) = A · B + A · C, (B + C) · A = B · A + C · A
5. α · (B + C) = α · B + α · C, α ∈ K
6. mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. istnieją macierze A i B takie, że A · B 6= B · A
1, i = j;
Macierz jednostkowa stopnia n: En = [eij ]n×n , eij =
0, i 6= j.
En jest elementem neutralnym mnożenia macierzy (dla wszystkich macierzy, dla których to mnożenie
jest określone).
Twierdzenie 1 Niech φ : V → W - przekształcenie liniowe, A - baza V , B - baza W . Niech v ∈ V ,
w ∈ W . Wtedy
A
φ(v) = w ⇔ MB
(φ) · vA = wB
Oznaczenie.
vA - wektor v z V zapisany w bazie A.
Macierz zmiany bazy
Uwaga. Nazewnictwo jak w podręczniku Algebra dla studentów J.Klukowskiego i I. Nabiałka.
Niech id : V → V - przekształcenie (liniowe) identycznościowe, A, B - bazy przestrzeni liniowej V .
B
Wtedy macierz MA
(id) nazywamy macierzą przejścia od bazy A do bazy B (lub macierzą zmiany
A
bazy z A na B) i oznaczamy przez PB
. Czyli wektory z bazy B wyrażamy przez wektory z bazy A.
B
Uwaga. MA
(id) · vB = vA .
Uwaga.
idW ◦ φ ◦ idV
V
A2
idV-
V
A1
φidW- ?
W
W
B1
B2
B2
A1
A1
A2
(φ) · PA
.
· MB
MB
(φ) = PB
2
1
2
1
Wyznaczniki
Definicja 2 Dowolną funkcję różnowartościową σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} nazywamy permutacją
zbioru {1, 2, . . . , n}.
Oznaczenie.
σ=
1
2
···
σ(1) σ(2) · · ·
n
σ(n)
Uwaga. Dla zbioru n-elementowego istnieje dokładnie n! permutacji. Zbiór permutacji zbioru nelementowego oznaczamy przez Sn .
1
Definicja 3 Permutacja σ tworzy inwersję elementów k, m, gdy k < m i σ(k) > σ(m).
Permutacja identycznościowa:
tworzy żadnej inwersji.
σ(k) = k ∀k = 1, 2, . . . , n. Jest to jedyna permutacja, która nie
Definicja 4 Permutację nazywamy parzystą, gdy jest identycznością lub tworzy parzystą liczbę inwersji,
a nieparzystą, gdy tworzy nieparzystą liczbę inwersji.
1,
σ - parzysta;
Znak permutacji: sgnσ =
−1, σ - nieparzysta.
Dla każdego n ∈ N, n ­ 2 mamy 21 n! permutacji parzystych i 12 n! permutacji nieparzystych.
Definicja 5 Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij ]n×n , aij ∈ K, nazywamy element ciała
K zdefiniowany następująco
X
sgnσ · a1σ(1) · a2σ(2) · · · · · anσ(n) .
σ∈Sn
Oznaczenie. det A, |A|,
a11
a21
..
.
an1
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
an2
···
ann
Uwaga. Suma w wyznaczniku składa się z n! składników, połowa jest ze znakiem +, połowa ze znakiem
−. Każdy iloczyn składa się z n czynników, po jednym z każdego wiersza i z każdej kolumny. Dodatkowo
przyjmuje się, że dla n = 1, A = [a], det A = a.
2