Dyskusja błędów
Transkrypt
Dyskusja błędów
Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru (Guide to Expression of Uncertainty in Measurements – Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU http://physics.nist.gov/Uncertainty Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik. Warszawa, Główny Urząd Miar 1999 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999 A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247 A.Zięba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Kraków 2002 WSTĘP W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości różniące się od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie staje się doskonalsze, niepewności pomiarowe maleją. W ogólności rozbieżność między teorią i eksperymentem zależy od: -Niedoskonałości człowieka (osoby wykonującej pomiar) -Niedoskonałości przyrządów pomiarowych -Niedoskonałości obiektów mierzonych Terminologia „Niepewność” a błąd pomiaru W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia: Błąd bezwzględny: Δ = x − x0 Błąd względny: δ = Δ x0 [wymiar x] [bezwymiarowe] Gdzie x – wartość zmierzona, x0 – wartość rzeczywista Niepewność Błąd pomiaru jest pojedynczą realizacją zmiennej losowej i nie wchodzi do teorii niepewności. W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów. Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem. Istotny jest również problem niepewności przypisywanej wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego) y=f(x1,x2,...xn) Podział błędów Wyniki pomiarów podlegają pewnym prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla zmiennej losowej. Z tego względu błędy dzielimy na: • Błędy grube (pomyłki) - eliminować • Błędy systematyczne - poprawki • Błędy przypadkowe – podlegają rozkładowi Gaussa, wynikają z wielu losowych przyczynków, nie dają się wyeliminować Typy oceny niepewności Typ A Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów: •wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru • ma zastosowanie do błędów przypadkowych Typ B Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności •stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa •dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru Teoria niepewności maksymalnej To podejście zakłada, że można określić przedział wielkości mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość rzeczywista. W zapisie x ± Δx gdzie Δx jest niepewnością maksymalną nie posługujemy się rachunkiem prawdopodobieństwa. Niepewność standardowa Jest miarą dokładności pomiaru uznawaną za podstawową. Definicja mówi: Niepewność standardowa u jest oszacowaniem odchylenia standardowego. 1. Rezultat pomiaru jest zmienną losową, której rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem standardowym 2. Dokładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy. Niepewność standardowa jest jego niezbyt dokładnym oszacowaniem. Niepewność u posiada wymiar, taki sam jak wielkość mierzona Niepewność względna ur(x) to stosunek niepewności (bezwzględnej) do wielkości mierzonej: u ( x) ur ( x ) = x Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i może być wyrażona w % Rozkład normalny Gaussa Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej błędu Δx podlega rozkładowi Gaussa ⎛ ( x − x0 ) 2 1 Φ ( x) = exp ⎜⎜ − 2 2 σ σ 2π ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ x0 jest wartością najbardziej prawdopodobną i może być nią n wartość średnia x= ∑x 3 i Φ(x) i n σ jest odchyleniem standardowym σ2 jest wariancją 2 x0=15 σ=2 σ=5 1 0 0 5 10 15 20 x W przedziale x0-σ < x < x0+σ mieści się ok. 68% wszystkich pomiarów 25 30 Rozkład normalny Gaussa Φ(x) 3 x0=15 σ=2 σ=5 2 1 0 0 5 10 15 20 25 x σ = u ( x) = ∑ (xi − x ) n ( n − 1) 2 30 Prawo przenoszenia niepewności Niepewność standardową wielkości złożonej y=f(x1,x2,...xn) obliczamy z tzw. prawa przenoszenia niepewności jako sumę geometryczną różniczek cząstkowych 2 2 ⎡ ∂y ⎤ ⎡ ∂y ⎤ ⎡ ∂y ⎤ uc ( y) = ⎢ u( x1 )⎥ + ⎢ u( x2 )⎥ + ... + ⎢ u( xn )⎥ ⎣ ∂x1 ⎦ ⎣ ∂x2 ⎦ ⎣ ∂xn ⎦ uc ( y ) ucr ( y ) = y 2 Przykład – współczynnik załamania światła Z pomiarów D ±ΔD, d1 ±Δd1 i d2 ±Δd2 Wyliczmy niepewność standardową Δn: ∂n 1 = 2 2 2 ∂ ∂ ∂ n n n ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ∂D d 1 − d 2 Δd 1⎥ + ⎢ Δd 2 ⎥ Δn = ⎢ ΔD ⎥ + ⎢ D ∂n ⎣ ∂D ⎦ ⎣ ∂d 1 ⎦ ⎣ ∂d 2 ⎦ n = D /(d 1 − d 2) ∂d 1 2 =− ( d 1 − d 2) 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 D 2 2 1 + Δd 2 ) ( Δ d Δn = ⎢ ΔD ⎥ + ⎢ 2⎥ 1 2 1 2 ( d d ) ( d − d ) − ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ D= 1.58 mm, d1= 1.26 mm, d2= 0.18 mm, n= 1.58/1.08= 1.46296293 Δn = [0.01 / 1.08] 2 [ + 1.58 /(1.08) ] (0.01 2 2 2 + 0.02 2 ) = 0.01 0.9 + 9.5 = 0.03 Na wartości ΔD, Δd1 i Δd2 mają wpływ dokładności przyrządów i statystyczny rozrzut pomiarów. Metoda najmniejszych kwadratów Regresja liniowa 2 S 2 = ∑ [ y i − (ax i + b )] = min n i y 60 f(x)=ax+b a=3.23, b=-2.08 40 yi f(xi) 20 bla d gruby 0 4 6 xi 8 10 x 12 14 16 Warunek minimum funkcji dwu zmiennych: ∂S 2 =0 ∂a ∂S 2 =0 ∂b Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b a ∑ xi2 + b ∑ xi = ∑ xi yi a ∑ xi + bn = ∑ yi Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi a = W 2 ∑ xi ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi b = W W= n ∑ xi2 − (∑ xi ) 2 Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe obu parametrów prostej: Δa = S2 W n n−2 Δb = Δa ∑x n 2 i Przykład zastosowania regresji liniowej y=ax+b Prawo Hooke’a 1.0 x [m] 0.8 0.6 x0 0.4 0.2 0.0 0.00 x=F/k+x0 1/k=a=4.45±0.15, x0=b=0.467±0.08 0.05 0.10 F [N] 0.15 0.20 Dopasowywanie właściwej funkcji Model matematyczny musi pasować do modelu fizycznego!!! Przykład: prawo Ohma U=R·I czyli Y=a·x a nie y=ax+b Wyraz wolny b=0! 40 y=ax czyli U=IR a= R= 2.0 ±0.2 [kΩ] U [V] 20 0 0 2 4 6 8 10 I [mA] 12 14 16 Regresja liniowa jednoparametrowa S2 = 2 n ∑ [y i − ax i ] = min i ∂S =0 ∂a 2 − 2∑ xi yi + 2a ∑ xi2 = 0 xi yi ∑ a = 2 ∑ xi ∑ [( ax n σa = n • n−2 i =1 i − yi ) 2 ∑ [x n i =1 2 i ] ] Zasady rysowania wykresów Czy ten wykres jest narysowany zgodnie z zasadami? 1. Należy wyraźnie zaznaczyć 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 punkty eksperymentalne !!! 0 40 80 120 160 200 240 280 320 2. Trzeba nanieść błąd pomiaru 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 0 40 80 120 160 200 240 280 320 3. Dobrać zakresy osi współrzędnych odpowiednio do zakresu zmienności danych pomiarowych !!! 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 0 40 80 120 160 200 240 280 320 4. Właściwie opisać osie współrzędnych i dobrać skalę, tak aby łatwo można było odczytać wartości zmierzone. 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 160 200 240 280 320 co jest na osiach ??? 5. Nie łączyć punktów eksperymentalnych linią łamaną!!! Jeśli znany jest przebieg teoretyczny to dokonać dopasowania teorii do doświadczenia (przeprowadzić fitowanie) 180 ρ [μΩ cm] 150 120 90 60 160 200 240 280 T [K] 320 6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu (opis, zamknięcie ramką, itp.) 180 ρ [μΩ cm] 150 dane eksperymentalne dopasowanie 120 90 60 160 200 240 280 T [K] 320 180 Wykres 1 Rezystywnosc ρ probki Bi w funkcji temperatury T ρ [μΩ cm] 150 dane eksperymentalne dopasowanie 120 90 60 160 200 240 280 T [K] 320