Bezpośrednie, a x i 10

Podstawy opracowania wyników pomiarów
z elementami analizy niepewności pomiarowych
w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym
Pomiary
Wyróżniamy dwa rodzaje pomiarów:
• pomiar bezpośredni, czyli doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy
(porównujemy z jednostką) interesującą nas wielkość fizyczną (np. pomiar długości – linijka),
• pomiar pośredni, czyli doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości
fizycznej przez pomiar innych wielkości fizycznych, związanych z daną wielkością znanym związkiem
funkcyjnym (np. pomiar prędkości (v) – linijka (odległość s) + stoper (czas t); v=s/t).
Wszystkie pomiary wykonywane są ze skończoną dokładnością.
Wynik pomiaru bez podania dokładności (czyli niepewności pomiaru) jest bezwartościowy.
Niepewności i błędy pomiarowe
Błędy grube – pojawiają się w wyniku pomyłki eksperymentatora (np. odczyt na niewłaściwej skali
przyrządu) lub awarii przyrządów. Zwykle są one na tyle duże, że można je łatwo zauważyć.
Niepewności pomiarowe możemy podzielić na:
•
•
systematyczne – przesuwają wyniki pomiarów w jedną stroną w stosunku do prawdziwej wartości.
Mogą mieć one różne źródła: niewłaściwy sposób przeprowadzania pomiaru (np. błąd paralaksy),
stosowanie wadliwych przyrządów (np. waga szalkowa o różnej długości ramion), założenia modelu
przyjętego do opracowania danych. Błędy te są zazwyczaj trudne do wyeliminowania.
statystyczne (przypadkowe) – zmieniają się od pomiaru do pomiaru, powodując odchylenia od wartości
prawdziwej zarówno w dół jak i w górę. Zakłada się, że spowodowane są one przez wiele niezależnych
przyczyn o porównywalnym znaczeniu. Metody statystyki pozwalają na ich oszacowanie.
Niepewności statystyczne (przypadkowe)
Niepewności przypadkowe można zmniejszyć powtarzając dany pomiar wielokrotnie, czyli tworząc statystykę.
Wynikiem będzie średnia arytmetyczna pomiarów, czyli wielkość najbardziej zbliżona do wartości prawdziwej
1
(tzw. wartości oczekiwanej), wyrażająca się wzorem: 
x=
n
∑ xi
n
gdzie: n – to liczba pomiarów.
i=1
Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedynczego pomiaru (niepewność metody pomiaru) jest
odchylenie standardowe, wyrażające się wzorem:

n
1
2
S x=
 x i − x 
∑
n−1 i=1
Natomiast wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku serii pomiarów jest odchylenie standardowe
średniej arytmetycznej:
1/6

n
1
S x =
 x i −x 2
∑
nn−1 i=1
Widać, że:
S x S x ; S x =
S x tak więc:
S x (odchylenie standardowe średniej arytmetycznej) można
n
zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n.
Rozkład Gaussa
Niepewności statystyczne (przypadkowe) opisywane są rozkładem Gaussa, wyrażającym się wzorem:
x 0 – wartość oczekiwana (prawdziwa),  – odchylenie standardowe
gdzie: x – to wartość mierzona,
(miara niepewności).
Rys.1 Rozkład Gaussa.
Wiemy z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy daną wartość x . W przedziale [x0-Sx,x0+Sx] mieści się
68,3% wszystkich wyników, natomiast w przedziale [x0-3Sx,x0+3Sx] mieści się 99,7% wszystkich wyników.
Średnia ważona
Mając wyniki z 2 niezależnych serii pomiarów tej samej wielkości: 
x A ± S x A i x B ± S x B
można znaleźć średnią ważoną i jej niepewność, w następujący sposób:
x w =
w A x Aw B x B
w Aw B
z wagami:
w A=
1
2
S x
A
S x =
1
w Aw B
w B=
1
2
S x
w
.
B
Można to łatwo uogólnić dla wielu pomiarów.
2/6
Pomiary pośrednie - propagacja niepewności statystycznych
Pomiar pośredni to funkcja wielu zmiennych (tutaj ograniczymy się tylko do dwóch). Jego niepewność wiąże
się z niepewnościami poszczególnych zmiennych, w następujący sposób:

z = f  x , y 
S z = 
∂f 2
∂f 2
 ⋅S x 2
 ⋅ S y 2
∂ x
∂ y
Przykłady:
z = x − y
S z = 12⋅S x 2−12⋅ S y 2
z =a⋅x
S z = a2⋅ S x 2=∣a∣⋅S x
z = x⋅y
S z =  y  ⋅ S x   x  ⋅ S y 
2
2
2
2

1 2
−x 2
2
S z =   ⋅ S x   2  ⋅S y 2
y
y
x
z =
y
Niepewności systematyczne
Niepewności systematyczne, których wielkość potrafimy ocenić zazwyczaj związane są z przyrządem
(urządzeniem), przy pomocy którego wykonujemy pomiar. Wyróżniamy:
•
 s x – niepewność skali przyrządu
(związana jest z odległością między działkami na skali miernika,
zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejnymi działkami,
choć gdy te są daleko można przyjąć połowę tej odległości)
•
 k x – niepewność klasy przyrządu
 k x=klasa ×100zakres
Pomiary pośrednie - propagacja niepewności systematycznych:
Niepewność systematyczną pomiaru pośredniego oblicza się w następujący sposób (przypadek funkcji dwóch
zmiennych):
z = f  x , y 
 z=∣
∂f
∂f
∣⋅ x∣ ∣⋅ y
∂ x
∂ y
Zapis wyników końcowych
z = z ± S z  stat  ±  z  sys [ jednostka]
Wartość wielkości mierzonej i jej niepewność podajemy z taką samą dokładnością.
Zaokrąglając:
• podajemy najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności pomiaru (tylko te mają sens fizyczny),
• wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego wyznaczono niepewność
pomiarową,
3/6
Przykład:
Obliczenia:
Wynik:
g =9.8145467 [
g =9.81 ± 0.21 [
m
]
s2
S g =0.21434 [
m
]
2
s
m
]
s2
Wyniki najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest w przedziale od 0,01 do
1000 (można używać przedrostków: , m, M itd. lub notacji potęgowej: 2x106, 2x10-6):
I=0.00003121 A SI=0.00000012 A
I=31.21 A
SI=0.12 A
-6
I=31.21 10 A
SI=0.12 10-6A
← akceptowalne tylko w obliczeniach
Niepewność względna i bezwzględna
 z – niepewność bezwzględna
z
– niepewność względna
∣z∣
z
⋅100 % – niepewność procentowa
∣z∣
Przykład:
L = 100 (1) mm → L/|L| = 0.01 → 1%
Graficzne przedstawienie wyników – Wykresy
Przedstawiając zbiór danych w postaci wykresu należy pamiętać o wszystkich jego cechach, czyli:
• odpowiednio dobrany zakres osi (nie zawsze muszą zaczynać się od zera),
• podpisy osi wraz z jednostkami,
• zaznaczone niepewności punktów pomiarowych,
• punktów pomiarowych nie połączymy linią łamaną,
• legenda wyjaśniająca co widać na wykresie.
(a)
(b)
Rys.2 Przykład wykresu wykonanego źle (a) i dobrze (b).
4/6
Regresja liniowa:
Często wielkości fizyczne x i y związane są zależnością liniową: y = ax + b.
Współczynniki a i b można obliczyć metodą regresji liniowej:
a – określa nachylenie prostej,
b – to punkt przecięcia z osią rzędnych (y).
Parametry a i b zazwyczaj mają interpretację fizyczną, a więc są wyrażane w odpowiednich jednostkach.
Ich znajomość pozwala wyznaczyć niektóre wielkości fizyczne.
Rys.3 Prosta dopasowana metodą regresji liniowej.
W metodzie tej parametry a i b dopasowane są tak, aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń
współrzędnych yi zespołu punktów o współrzędnych (xi, yi) od prostej y = ax + b :
n
∑  y i−ax i −b2
2= i=1
S 2y
=min
i
Rys.4 Regresja liniowa – ilustracja metody najmniejszych kwadratów.
Gdy wielkości yi zostały zmierzone z identyczną niepewnością, czyli Syi = Sy = const, a niepewności wielkości
x są zaniedbywalnie małe w porównaniu z niepewnościami wielkości y to parametry a i b wyrażają się
prostymi wzorami (tzw. regresja zwyczajna lub klasyczna):
5/6
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n ∑ x i y i −∑ x i  ∑ y i 
a=
S a=S y
W
n
2
i
n
n
n
i=1
i= 1
i=1
 ∑ x  ∑ y i − ∑ x i  ∑ x i y i 
b=
i=1
W
n
gdzie: W =n
2
i
n

n
W

n
∑ x2i
S b=S y
i=1
W
2
∑ x −∑ xi 
i=1
i=1
Zalecana literatura i źródła internetowe
[1] J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999.
[2] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999.
[3] G. L. Squires, Praktyczna fizyka, PWN, Warszawa 1992.
[4] A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247.
[5] http://www.fis.agh.edu.pl/~pracownia_fizyczna/index.php?p=pomoce
[6] http://users.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/smop1N_p.pdf
6/6