3 [ ]t [ ]2

II
Zad. 1. Określić pochodne
df
następujących funkcji:
dt
c
b) f (t ) = ct sin (bt )
(b,c-stałe)
t2
Zad. 2. Ciało o masie m porusza się po płaszczyźnie w taki sposób, iż zależność wektora
(promienia) wodzącego, określającego położenie ciała względem początku dwuwymiarowego
kartezjańskiego układu współrzędnych, jest opisana wzorem:
r
r
r
r
r (t ) = At 3 , Bt 3
( r (t ) = At 3 i + Bt 3 j )
gdzie A, B oznaczają dodatnie stałe. Znaleźć zależność od czasu następujących wielkości:
r
r
a) wektora prędkości V i przyspieszenia a ciała
b) wypadkowej siły działającej na ciało
c) składowych przyspieszenia ciała: stycznej at i normalnej a n .
Znaleźć równanie toru, po którym porusza się to ciało w postaci jawnej y = f ( x) .
Zad. 3. Ruch punktu materialnego o masie m na płaszczyźnie opisuje w dwuwymiarowym
kartezjańskim układzie współrzędnych wektor wodzący:
r
r
r
r
r (t ) = [R cos(ωt ), R sin (ωt )]
( r (t ) = R cos(ωt )i + R sin(ωt ) j )
gdzie R, ω –stałe dodatnie.
a) Określić zależność od czasu wektorów prędkości, przyspieszenia punktu materialnego
r
r
b) Określić związek wektora przyspieszenia a i wypadkowej siły F wywołującej ruch tego
r
punktu z wektorem wodzącym r określającym położenie tego punktu.
r
r
c) Znaleźć kąt pomiędzy wektorem r i wektorem prędkości V .
d) Pokazać, że ruch wymienionego punktu zachodzi po okręgu o środku położonym w
początku układu współrzędnych.
e) Znaleźć wartość prędkości tego punktu.
f) Znaleźć składowe przyspieszenia punktu materialnego: styczną a t i normalną a n .
Odp.(częściowa)
r
r
a) V (t ) = [− Rω sin (ωt ), Rω cos(ωt )] ; a (t ) = − Rω 2 cos(ωt ),− Rω 2 sin (ωt )
r
r
r
r
b) a = −ω 2 r
F = −mω 2 r
e) V (t ) = Rω
f) a t = 0 ; a n = Rω 2
Zad. 4. Ruch punktu materialnego o masie m na płaszczyźnie opisuje w dwuwymiarowym
kartezjańskim układzie współrzędnych wektor wodzący:
r
r
r
r
r (t ) = A cos Bt 2 , A sin Bt 2
( r (t ) = A cos Bt 2 i + A sin( Bt 2 ) j )
gdzie A,B–stałe dodatnie.
a) Znaleźć równanie toru punktu.
b) Określić zależność od czasu wektora prędkości.
r
r
c) Znaleźć kąt pomiędzy wektorem r i wektorem prędkości V .
d) Znaleźć zależność wartości prędkości tego punktu od czasu .
e) Znaleźć składowe przyspieszenia punktu materialnego: styczną a t i normalną a n .
Zad. 5. Zależność od czasu określonego w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie
współrzędnych wektora wodzącego ciała o masie m poruszającego się po płaszczyźnie dana jest
wzorem
r
r
r
r
r (t ) = At , C − Bt 4 ( r (t ) = Ati + (C − Bt 4 ) j ) gdzie A, B, C -dodatnie stałe
1) Znaleźć zależność prędkości i przyspieszenia ciała od czasu.
a) f (t ) = bt 3 +
[
]
[
[
[
( )]
( )
]
]
( )
2) Jaka musi być zależność od czasu wypadkowej siła przyłożonej do ciała, aby poruszało się
ono w ten sposób?
3) Znaleźć równanie toru po którym porusza się ciało w postaci jawnej.
v
r
Odp. 1) V (t ) = A,−4 Bt 3 ; a (t ) = 0,−12 Bt 2
r
B
2) F (t ) = 0,−12mBt 2
3) y ( x) = C − 4 x 4
A
Zad. 6. Ćma porusza się po krzywej, przy czym droga pokonywana przez ćmę zmienia się z czasem
r
t zgodnie ze wzorem: S (t ) = D e bt − 1 ( b , D-stałe). Wiedząc, że wektor przyspieszenia a ćmy
tworzy stały kąt α ze styczną do toru ćmy w każdym punkcie toru, znaleźć zależność od czasu
wartości prędkości, składowej stycznej a t i normalnej a n przyspieszenia oraz promienia krzywizny
dS
toru ρ . Wsk. Wartość prędkości można obliczyć ze wzoru V =
, zaś promień krzywizny toru
dt
V2
.
można określić ze wzoru: ρ =
an
Zad. 7 (W). Kula wystrzelona poziomo ze strzelby znajdującej się na wysokości h nad ziemią z
prędkością o wartości równej V0 przebiła dwie pionowo ustawione kartki papieru umieszczone w
odległościach l1 i l2 od strzelby.
y
1) Określić wartość prędkości kuli w chwili
r
przebijania kartki położonej w odległości l1 od
r
V0
V =?
strzelby.
r
g
2) Określić różnice wysokości, na jakiej znajdują
h
się otwory w kartkach.
d=?
l1
3) Znaleźć równanie toru kuli w pokazanym na
rysunku układzie współrzędnych.
l2
4) Znaleźć odległość od początku układu
O
współrzędnych do punktu, w którym kula
x
Z=?
uderzyła o ziemię.
5) Znaleźć zależność od czasu składowej stycznej i normalnej przyspieszenia kuli w trakcie jej
ruchu
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Założyć, iż w trakcie przechodzenia przez kartki
prędkość kuli nie ulegała zmianie
r
2V02 h
g 2l 2
g 2 2
gx 2
Odp. częściowa. 1) V1 = V02 + 21 , 2) d =
(
l
−
l
)
3)
y
=
h
−
4)
Z
=
2
1
g
V0
2V02
2V02
[
[
]
]
[
(
]
)
1
Zad. 8 (W). Lotnik, który leci na wysokości h w kierunku poziomym z prędkością o wartości V0
upuszcza w chwili t=0 ładunek, który ma upaść na ziemię w pewnym ustalonym punkcie.
a) Z prędkością o jakiej wartości ładunek upadł na ziemię?
b) Pod jakim kątem lotnik powinien widzieć cel w chwili puszczania ładunku? Za kąt widzenia
celu przyjąć kąt pomiędzy kierunkiem ruchu samolotu, a linią łączącą samolot z celem.
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g. Uwzględnić fakt iż początkowa prędkość ładunku
w chwili opuszczania samolotu jest równa prędkości samolotu.
gh
Odp. a) Vk = V02 + 2hg ,
b) tg (α ) =
2V02
Zad. 9 (W). Ciało rzucono poziomo z wieży o pewnej wysokości nadając mu prędkość początkową
o wartości V0 =4m/s skierowaną równoległe do powierzchni ziemi. Wartość prędkości ciała w
momencie upadku na ziemię jest 4 razy większa od prędkości początkowej. Obliczyć wysokość
wieży, z której wyrzucono ciało oraz czas spadku ciała z wieży. Znana jest wartość przyspieszenia
15V02
15V0
ziemskiego g=9,81m/s2. Odp. h =
≈ 12m , t s =
≈ 1,6 s
2g
g
Zad. 10. Dwa ciała wyrzucono jednocześnie z dwóch różnych punktów. Jedno ciało zostało
rzucone poziomo z prędkością o wartości V1=10m/s z wieży o wysokości h=10m, drugie
wyrzucono pionowo z prędkością o wartości V2 z miejsca odległego o d=5m od podnóża wieży.
Jaka powinna być prędkość V2 aby ciała mogły zderzyć się w powietrzu? Warunki przyjęte w
zadaniu zapewniają to iż V1 >
d 2g
( g- wartość przyspieszenia ziemskiego).
2h
V1 h
= 20m / s
d
Zad. 11. U szczytu zbocza o wysokości h wznoszącego się pod kątem β do poziomu wystrzelono
kulę z armaty. Kula wyleciała z lufy z prędkością o wartości V0 poziomo (w kierunku równoległym
do osi Ox) jak pokazano na rysunku. Na kulę działa wyłącznie siła ciężkości zwrócona pionowo w
dół. Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.
y
r
Wyznaczyć w przyjętym na rysunku układzie współrzędnych
V0
a) równanie toru kuli,
β
r
g
b) współrzędne punktu, w którym kula trafi w zbocze,
h
c) czas po którym kula uderzy w zbocze,
d) wartość prędkości kuli w chwili uderzenia w zbocze.
Odp. V2 =
β
x
O
Wsk. Równanie płaszczyzny zbocza w przyjętym na rysunku układzie współrzędnych ma postać
y = h − tg (β )x
2V tg (β )
Odp. (częściowa)
c) t = 0
d) V = V0 1 + 4tg 2 (β )
g
Zad. 12 (W). Ciało o masie m w chwili t=0 wyrzucono z powierzchni ziemi z prędkością
początkową o wartości V0 pod kątem α do poziomu.
a) Znaleźć czas po którym ciało spadnie na ziemię tc, zasięg rzutu ciała Z (odległość pomiędzy
miejscem wyrzutu ciała i miejscem jego spadku na ziemię), maksymalną wysokość h na jaką
wzniesie się ciało nad powierzchnię ziemi oraz kąt β pomiędzy wektorem prędkości a wektorem
r
przyspieszenia ziemskiego g w chwili zetknięcia pocisku z ziemią..
b) Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało z powierzchni ziemi, aby zasięg rzutu ciała
był maksymalny?
c) Znaleźć równanie toru ciała.
d) Znaleźć zależność od czasu składowych przyspieszenia ciała: stycznej at i normalnej a n .
Znana jest stała wartość przyspieszenia ziemskiego g.
Zad. 13. Pocisk wystrzelono z prędkością o wartości V0 pod kątem α do poziomu z wieży o
wysokości h.
a) Znaleźć czas tc po którym pocisk spadnie na ziemię, zasięg lotu pocisku (rozumiany jako
odległość pomiędzy podstawą wieży a miejscem spadku pocisku na ziemię), czas po którym pocisk
osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią tw oraz tą wysokość hmax, wartość prędkości, z jaką
pocisk zderzy się z ziemią Vk oraz kąt β pomiędzy wektorem prędkości a wektorem przyspieszenia
r
ziemskiego g w chwili zetknięcia pocisku z ziemią.
b) Znaleźć równanie toru pocisku.
c) Znaleźć zależność od czasu składowych przyspieszenia pocisku : stycznej at i normalnej a n .
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.


V sin (α ) 
V02 sin (2α ) 
2 gh
2 gh
Odp. a) t c = 0
,
1
+
1
+
Z
=


1 + 1 + 2
,
2
2
2
g
2g
V0 sin (α ) 
V0 sin (α ) 


V 2 sin 2 (α )
V sin (α )
ctg (α )
tg (β ) =
, hmax = h + 0
, Vk = V02 + 2 gh ,
tw = 0
g
2g
2 gh
1+ 2
V0 sin 2 (α )
g
b) y ( x) = h + tg (α )x −
x2
2
2
2V0 cos (α )
gV0 cos α
− g (V0 sin α − gt )
c) at =
an =
2
(V0 sin α − gt ) + V02 cos 2 (α )
(V0 sin α − gt )2 + V02 cos 2 (α )
y
Zad. 14. U podnóża zbocza wznoszącego się pod katem β
do poziomu wystrzelono kule z armaty. Kula wyleciała z
lufy z prędkością o wartości V0 pod kątem α do poziomu.
Wyznaczyć współrzędne punktu, w którym kula trafi w zbocze oraz
V0
czas po którym to nastąpi.
α
Znana jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.
β
x
2V cos (α )(tg (α ) − tg (β ))
g
2V cos(α )(tg (α ) − tg (β ))
tz = 0
g
Odp. ) x P =
2
0
2
y P = x P tg (β ) =
2V cos (α )(tg (α ) − tg (β ))
tg (β )
g
2
0
2
l2
Zad. 15. Kula armatnia wystrzelona z powierzchni ziemi
pod kątem α do poziomu z prędkością o pewnej wartości
przebiła dwie pionowo ustawione przegrody umieszczone
w odległościach l1 i l2 od armaty. Wiadomo, iż otwory w
obu przegrodach znajdowały się na tej samej wysokości
nad ziemią.
l1
r
V0 = ?
α
Określić wartość początkowej prędkości kuli w chwili wystrzału. Założyć, iż w trakcie przebijania
przez kulę każdej z przegród jej prędkość nie ulegała zmianie. Znana jest wartość przyspieszenia
ziemskiego g.
g (l1 + l 2 )
g (l1 + l 2 )
Odp. V0 =
=
sin (2α )
2 sin (α ) cos(α )
Zad. 16. Strzelba jest wycelowana w cel wiszący na wysokości H. W tej samej chwili pada strzał i
cel zaczyna swobodnie spadać. Czy kula trafi w cel w trakcie jego spadku? W jakiej odległości od
strzelby należy umieścić cel, aby kula weń nie trafiła? Znana jest wartość prędkości kuli
2H
wylatującej ze strzelby V0 oraz wartość przyspieszenia ziemskiego g. Odp. d ≥ V0
g
r
g