instrukcja do ćwiczenia nr 7

KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ
Wydział Mechaniczny
POLITECHNIKA LUBELSKA
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
PRZEDMIOT
LABORATORIUM MODELOWANIA
TEMAT
Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety fazowe, FFT. Wpływ
warunków początkowych i wielkości kroku całkowania.
mgr inż. Andrzej Weremczuk
OPRACOWAŁ
1. CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wykonanie analizy danych na przykładzie modelu nieliniowego
o jednym stopniu swobody oraz zbadanie wpływu warunków początkowych i kroku
całkowania na rozwiązanie.
2. PODSTAWY TEORETYCZNE
Jednym z podstawowych metod opisu zjawisk dynamicznych jest modelowanie
matematyczne z wykorzystaniem równań różniczkowych. Pozwala ono na opis oraz badanie
własności dynamicznych rzeczywistych obiektów. Modele badanych obiektów można
otrzymać
eksperymentalnie
na
podstawie
charakterystyk
czasowych
lub
częstotliwościowych, jak również teoretycznie dzięki znajomości zachodzących na obiekcie
zjawisk. Do opisu stosowane są modele liniowe bądź nieliniowe. Liniowe modele dynamiki
można analizować dokładnie i różnymi metodami. Natomiast analiza dynamiki układów
nieliniowych jest znacznie trudniejsza a często wręcz niemożliwa, ponieważ nie można
podzielić problemu na prostsze podzadania (np. z wykorzystaniem metody superpozycji).
Rozwiązanie nieliniowych równań różniczkowych rzadko jest znane, a własności układu
zależą od punktu pracy i od wymuszenia. Ograniczone możliwości analitycznego badania
układów nieliniowych powodują, że często wykorzystuje się badania symulacyjne. W dalszej
części przedstawiono taką właśnie analizę układu nieliniowego na przykładzie modelu
Duffinga.
Badania układów dynamicznych na podstawie symulacji modelu polegają na analizie
sygnałów (przemieszczenia, prędkości, przyspieszenia itp.) odpowiedzi układu na zmianę
jego parametrów bądź wymuszenie sygnałem zewnętrznym. Otrzymywane w tym wypadku
sygnały można podzielić na dwie grupy:
1) Sygnały zdeterminowane – których wartości można przewidzieć w dowolnym czasie;
a) sygnały okresowe,
- harmoniczne,
- złożone (poliharmoniczne),
b) sygnały nieokresowe,
- prawie okresowe,
- przejściowe (impulsowe).
2) Sygnały przypadkowe (losowe, stochastyczne) – wartości sygnałów w każdej chwili są
zmiennymi przypadkowymi;
a) stacjonarne,
b) niestacjonarne.
W celu uzyskania informacji o składowych złożonego przebiegu drgań należy
przeprowadzić analizę widmową (częstotliwościową) uzyskanego z pomiarów sygnału
czasowego. Analiza sygnałów może odbywać się w sposób analogowy, cyfrowy lub mieszany.
Do przetwarzania cyfrowego stosuje się najczęściej szybką transformatę Fouriera(FFT).
Rys.2.1. Przebieg czasowy i widmo przyspieszenia drgań.
Innym sposobem badania układów dynamicznych jest analiza przebiegów czasowych
oraz portretów fazowych otrzymanych w procesie symulacji modelu.
Rys.3.1. Typy portretów fazowych układów liniowych.
Portret fazowy to rodzina trajektorii w układzie współrzędnych [x, x’],
przedstawiających zachowanie obiektu obserwowane przy stałym wymuszeniu, ale dla
różnych warunków początkowych, które są wówczas jedyną przyczyną zmian
obserwowanych w układzie. Jest to graficzny sposób zobrazowania własności dynamicznych
obiektów. Portrety fazowe najłatwiej jest uzyskać metodami symulacyjnymi na podstawie
równań różniczkowych. W układach liniowych można wyróżnić sześć charakterystycznych
typów portretów związanych położeniem biegunów układu, które przedstawiono na rysunku
(3.1). Każda trajektoria portretu reprezentuje ewolucję stanu obiektu od określonego
warunku początkowego. Jeżeli układ jest stabilny to dąży do punktu równowagi, a jeżeli jest
niestabilny to oddala się od tego kierunku.
Rys.3.2. Idee stabilności (niestabilności) globalnej (lokalnej).
Portrety fazowe układów nieliniowych mogą mieć jeden lub więcej punktów
równowagi w zależności od rozwiązania równania statycznego. System nieliniowy może być
stabilny (niestabilny) globalnie, ale jeżeli układ ma więcej punktów równowagi to może być
stabilny w jednym a niestabilny w innych punktach. Wówczas wyróżnia się stabilność
(niestabilność) lokalną i globalną.
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Układ Duffinga częściej określany, jako oscylator Duffinga, stosowany jest przede
wszystkim do opisu i modelowania drgań maszyn przemysłowych. Stanowi doskonałe
odzwierciedlenie ruchu amortyzowanego, czyli tłumionego oscylatora z okresowym
wymuszeniem i nieliniową sprężystością. Jest to także przykład systemu dynamicznego
wykazującego zachowania chaotyczne. Układ Duffinga opisuje się nieliniowym równaniem
różniczkowym drugiego rzędu.
(3.1)
x′′(t ) + δ ⋅ x′(t ) + β ⋅ x(t ) + γ ⋅ x(t )3 = α ⋅ cos(ω ⋅ t )
gdzie:
δ - współczynnik tłumienia,
β - liniowy współczynnik sztywności,
α - nieliniowy współczynnik sztywności,
γ - amplituda wymuszenia,
ω - częstość wymuszenia.
Rys.3.1. Model oscylatora Duffinga.
Do symulacji modelu przedstawionego za pomocą równania (3.1) można wykorzystać
graficzny sposób definiowania dostępny w programie Simulink.
Rys.3.2. Schemat modelu wykonany w programie Matlab-Simulink.
Poniżej przykład kodu (w postaci m-pliku) do symulacji modelu Duffinga wykonanego
w Simulinku.
clear all
close all
clc
%Parametry
tk=250; %Czas symulacji
w1=0; %Warunek początkowy na przemieszczenie
w2=0; %Warunek początkowy na prędkość
delta=0.2;
beta=-1;
gamma=1;
alfa=1;
omega=1;
sim('Duffing'); %Symulacja modelu
figure(1)
plot(t,x,'b-')
xlabel('t (s)')
ylabel('x (t)')
legend('Przemieszczenie x (t)')
figure(2)
plot(t,v,'b-')
xlabel('t (s)')
ylabel('v (t)')
legend('Prędkość v (t)')
figure(3)
plot(v,x,'b-')
xlabel('v (t)')
ylabel('x (t)')
legend('Wykres fazowy')
time=[0:0.001:tk]; %Procedura fft
response=x;
npts = length(time);
Tmax = max(time);
Tmin = min(time);
dt = (Tmax-Tmin)/(npts-1);
deltaf = 2*pi/(Tmax-Tmin);
fft_out = pi/npts*fft(response(:));
omega = deltaf*(0:npts-1);
figure(4)
plot(omega,abs(fft_out), 'b-')
xlabel('Omega rad/s')
ylabel('Amplituda')
legend('Widmo sygnału')
axis([0 10 0 3]);
4. OPRACOWANIE WYNIKÓW
W celu opracowania wyników należy:
- zbudować model układu dynamicznego w Simulinku,
- wprowadzić w ustawieniach metodę całkowania oraz krok całkowania,
- napisać skrypt w postaci m-pliku, który umożliwiał będzie symulację modelu dla różnych
parametrów,
- wykonać symulację modelu dla parametrów z tabeli 4.1 (lub innych parametrów podanych
przez prowadzącego),
- wyniki symulacji przedstawić w postaci przebiegów czasowych (przemieszczenia,
prędkości), wykresów fazowych oraz widma sygnału,
- zbadać wpływ warunków początkowych na wyniki symulacji,
- zbadać wpływ kroku całkowania na wyniki symulacji.
Tabela 4.1
Parametry
Wariant 1
Wariant 2
Wariant 3
Wariant 4
Czas symulacji
250
250
250
250
Delta
0,2
0,2
0,2
0,2
Beta
1
-1
1
1
Gamma
0,1
0,1
1
0,1
Alfa
0,3
0,3
0,3
1
Omega
1
1
1
3
5. SPRAWOZDANIE
Sprawozdanie powinno zawierać:
- temat ćwiczenia,
- cel ćwiczenia,
- schemat badanego modelu dynamicznego,
- wyniki symulacji w postaci wykresów dla określonych parametrów (np. zebrane w postaci
tabeli),
- wnioski.
6. BIBLIOGRAFIA
1. A. Zalewski, R. Cegieła, „Matlab - Obliczenia numeryczne i ich zastosowania”
2. B. Mrozek, Z. Mrozek, „Matlab - Poradnik użytkownika”
3. D. Higham, N. Higham, “Matlab guide”
4. http://www.mathworks.com/