lista 2 (przyg.) - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań przygotowawczych na spotkanie w dniu 11.10.2008.
Trójkąt i jego własności
1. Twierdzenie Stewarta. Niech punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Wówczas
|CD|2 · |AB| + |AD| · |DB| · |AB| = |AC|2 · |DB| + |BC|2 · |AD|.
2. Twierdzenie Cevy. Niech punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach BC,
CA, AB trójkąta ABC. (Punkty te są różne od wierzchołków.) Odcinki AA1 ,
BB1 , CC1 przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
|AC1 | |BA1 | |CB1 |
·
·
= 1.
|C1 B| |A1 C| |B1 A|
3. Twierdzenie van Aubela. Jeżeli punkty A1 , B1 , C1 leżą odpowiednio na bokach
BC, CA, AB trójkąta ABC i odcinki AA1 , BB1 , CC1 przecinają się w punkcie O,
to
|AO|
|AC1 | |AB1 |
=
+
.
|OA1 |
|C1 B| |B1 C|
4. Twierdzenie Eulera. Udowodnić, że
d2 = R2 − 2Rr,
gdzie d jest odległością między środkami okręgu opisanego na trójkącie i okręgu wpisanego w trójkąt, a R i r są odpowiednio promieniami tych okręgów.