Geometria Zadania powtórzeniowe przed egzaminem 1. Wyjaśnić

Geometria
Zadania powtórzeniowe przed egzaminem
1. Wyjaśnić znaczenie i rozstrzygnąć, czy istnieje następująca cecha przystawania trójkątów: bok-bok-wysokość.
2. Na boku AB trójkąta ABC zbudowano, po jego zewnętrznej stronie kwadrat ABDE
) ACB = 90◦ , to prosta CO jest dwusieczną kąta ACB.
o środku O. Wykazać, że jeżeli <
) ACB = 90◦ oraz BC 6= CA. Na boku AB tego
3. Dany jest trójkąt ABC, w którym <
trójkąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie kwadrat ABDE o środku O. Wykazać, że
<
) BCO = 45◦ .
) ACB = 90◦ oraz BC 6= CA. Niech ADBE będzie
4. Dany jest trójkąt ABC, w którym <
kwadratem o przekątnej AB. Wykazać, że proste CD i CE są prostopadłe.
5. Proste AD, BE, CF są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC i przecinają się
w punkcie H. Wykazać, że punkt H jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt DEF .
6. Proste AD, BE, CF są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC i przecinają się
w punkcie H. Wiedząc, że miary kątów trójkąta ABC wynoszą 45◦ , 60◦ , 75◦ , wyznaczyć
miary kątów trójkąta DEF .
7. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AB i AD równoległoboku ABCD. Prosta
EF przecina proste BC i CD odpowiednio w punktach P i Q. Wykazać, że [AP Q] = [CEF ].
8. Punkty M i N leżą odpowiednio na bokach AD i CD równoległoboku ABCD, przy
czym proste M N i AC są równoległe. Wykazać, że pola trójkątów ABM i BCN są równe.
9. Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym AB k CE oraz BC k AD. Wykazać,
że pola trójkątów ABE i BCD są równe.
10. Przekątne pewnego trapezu są prostopadłe i wynoszą odpowiednio 3 i 4. Obliczyć
sumę długości podstaw tego trapezu.
11. Dany jest czworokąt wypukły, którego długości boków wynoszą kolejno a, b, c, d.
Wykazać, że przekątne tego czworokąta są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
a2 + c2 = b2 + d2 .
12. Punkty K, L, M , N , O są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, DE, EA
pięciokąta wypukłego ABCDE. Suma długości przekątnych pięciokąta ABCDE wynosi 10.
Obliczyć obwód pięciokąta KLM N O.
13. Punkty K, L, M , N są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, DA czworokąta
wypukłego ABCD. Wykazać, że jeśli przekątne AC i BD są prostopadłe, to KM = LN .
14. Na przyprostokątnych BC i CA trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty BCDE oraz ACF G. Proste AE i BC przecinają się w punkcie P ,
a proste BG i AC przecinają się w punkcie Q. Dowieść, że CP = CQ.
15. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Prosta równoległa do podstaw
tego trapezu przecina odcinki AD, AC, BD, BC odpowiednio w punktach K, L, M , N .
Udowodnić, że KL = M N .
16. Okręgi o1 i o2 przecinają się w punktach A i B. Punkt P leży na prostej AB, na
zewnątrz odcinka AB. Prosta a, różna od prostej AB, przechodzi przez punkt P i przecina
okrąg o1 w punktach C i D. Prosta b, różna od prostych a i AB, przechodzi przez punkt
P i przecina okrąg o2 w punktach E i F . Wykazać, że punkty C, D, E, F leżą na jednym
okręgu.
17. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła
do prostej BC przecina okrąg o średnicy BC w punktach D i E. Prosta przechodząca przez
1
punkt B i prostopadła do prostej AC przecina okrąg o średnicy AC w punktach F i G.
Wykazać, że punkty D, E, F , G leżą na jednym okręgu.
18. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu o poprowadzono styczne do tego okręgu
w punktach C i D. Przez punkt P poprowadzono również prostą, która przecina okrąg o
w punktach A i B. Wykazać, że
AC · BD = BC · DA .
19. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu o poprowadzono styczną do tego okręgu
w punkcie C. Przez punkt P poprowadzono również prostą, która przecina okrąg o w punktach
A i B, przy czym P A > P B. Obwody trójkątów ACP i BCP wynoszą odpowiednio p, q.
Obliczyć iloraz AB/BP .
20. Prosta łacząca środki ramion trapezu rozcina ten trapez na dwa trapezy o polach 4
i 6. Obliczyć pola trójkątów na jakie rozcina ten trapez jego przekątna.
21. Niech rA , rB , rC oznaczają odpowiednio promienie okręgów dopisanych do trójkąta
ABC. Niech r, R będą odpowiednio promieniami okręgów wpisanego i opisanego do trójkąta
ABC. Wykazać, że
rA + rB + rC = 4R + r
oraz
rA rB + rB rC + rC rA = p2 ,
gdzie p oznacza połowę obwodu trójkąta ABC.
22. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 6= BC. Dwusieczna kąta wewnętrznego przy
wierzchołku C przecina odcinek AB w punkcie D. Dwusieczna kąta zewnętrznego przy wierzchołku C przecina prostą AB w punkcie E. Wykazać, że
AD AC AE
=
=
.
DB CB EB
(Jest to tzw. twierdzenie o dwusiecznej.)
23. Punkt M jest środkiem boku AB trójkąta ABC. Prosta symetryczna do prostej CM
względem dwusiecznej kąta ACB przecina prostą AB w punkcie D. Wykazać, że
AD
AC 2
=
.
DB
BC
24. W trójkącie o bokach a, b, c spełniona jest równość a3 +b3 = c3 . Czy ten trójkąt jest
ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny?
25. Niech mA oznacza długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka A.
Wykazać, że
1p 2
2b + 2c2 − a2 .
mA =
2
26. Wykazać, że środkowe trójkąta ABC poprowadzone z wierzchołków A i B są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = 5c2 .
27. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC, przy czym
BC = 3 · CD oraz CA = 3 · AE. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P .
(a) Wykazać, że pole trójkąta ABP jest równe polu czworokąta CDP E.
(b) Wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe 1, obliczyć pola trójkątów BDP , AP E
oraz pole czworokąta CDP E.
28. Na przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC zbudowano po zewnętrznej
stronie kwadrat BCDE. Niech O będzie środkiem tego kwadratu. Wiedząc, że AB =a, AC =b
obliczyć długość odcinka AO.
29. Dany jest trapez równoramienny od podstawach długości a > b oraz ramieniu długości c. Obliczyć długość przekątnej tego trapezu.
30. Punkt P leży wewnątrz prostokąta ABCD. Wykazać, że jeżeli pole tego prostokąta
) AP B + <
) CP D = 180◦ .
jest równe AP · P C + BP · P D, to <
2