Algebra

Algebra
Lista 12
1. W tym zadaniu za jmiemy si¦ lematem potrzebnym do udowodnienia twierdzenia 174 (o rozwini¦ciu Laplace'a), który na wykªadzie zostaª podany bez dowodu.
{1, . . . , n}
ci¡giem ró»nych elementów ze zbioru
wyst¦puje w nim
inwersji.
p
Poka», »e
jedynie wtedy, gdy
2.
inwersji.
Usu«my z tego ci¡gu element
(−1)p = (−1)q · (−1)i+ai ,
i + ai jest nieparzyste.
Niech
a1 , . . . , a n
(czyli permutacj¡ tego zbioru).
ai .
b¦dzie
Zaªó»my, »e
Zaªó»my, »e nowy ci¡g ma
q
czyli »e parzysto±¢ liczby inwersji ci¡gu zmieni
(a) Oblicz wyznaczniki:
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
(b) Oblicz wyznacznik:
oraz
(c) Poka», »e wyznacznik:
3. Niech
1 2
10 9
11 12
20 19
21 22
1
1
1
...
1
2
1
2
0
1
2
0
2
3
8
13
18
23
4
7
14
17
24
a1
−1
0
.
0
0
1
a2
−1
.
0
0
0
1
a3
.
0
0
...
an
...
an
...
an
...
...
. . . a n + bn
... 0
... 0
... 0
...
.
. . . an−1
. . . −1
0
0
0
.
1
an
jest równy
b1 b2 . . . bn .
.
un = an un−1 + un−2
4. Poka», »e poni»szy wyznacznik stopnia
5. Liczby
1
2
0
2
5 6 15 16 25 a1
a2
a1 + b1
a2
a1
a2 + b2
...
...
a1
a2
un = Dowie±¢, »e
2
1
2
0
2k jest równy
a 0 ... 0 b
0 a ... b 0
. . ... . .
0 b ... a 0
b 0 ... 0 a
(a2 − b2 )k .
.
20604, 53227, 25755, 20927, 289 s¡ podzielne przez 17.
2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 .
2 0 9 2 7 0 0 2 8 9 nik równie» jest podzielny przez 17:
Udowodnij, »e poni»szy wyznacz-
6. Udowodnij twierdzenie Cauchy'ego:
det(AB) = det(A) · det(B).
Wskazówka: Zasugeruj¦ jedn¡ z metod udowodnienia tego twierdzenia. Udowodnij najpierw takie twierdzenie pomocnicze: wyznaczniki macierzy ksztaªtu
A 0
C B
A C
0 B
oraz
,
A i B to pewne macierze kwadratowe (w ogólnym przypadku C nie musi by¢ kwadratowa),
det(A) · det(B). Nast¦pnie rozwa» dwa sposoby wyliczenia wyznacznika
gdzie
A 0
−In B
s¡ równe
.
Pierwszy sposób polega na wykorzystaniu wspomnianego lematu, drugi na przeksztaªceniu danego wyznacznika (za pomoc¡ operacji na kolumnach) do postaci
gdzie
C =AB
A C
−In 0n
C A
0n −In
,
i nast¦pnie do
.
7. Oblicz wyznacznik:
Wskazówka:
Oblicz wyznacznik macierzy
a b c d
b −a d −c
c −d −a b
d c −b −a
AAT
i skorzystaj z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku
iloczynu macierzy.
8. Wyznacz macierze odwrotne do macierzy:
1 2
2 5

oraz

2 2 3
 1 −1 0 .
−1 2 1
9. Wyprowad¹ wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy ksztaªtu
B
i
C
s¡ macierzami kwadratowymi, a
0
macierz¡ zerow¡.
A C
0 B
, gdzie
A,
Poda j warunek na istnienie takiej
macierzy odwrotnej.
10. Niech
A b¦dzie dowoln¡ macierz¡, a R1 i R2
R1 = R2 .
równowa»nymi jej wierszowo macierzami wierszowo
zredukowanymi. Poka», »e
2