Lista tematów na egzamin ustny

Wybrane zagadnienia matematyki
Zagadnienia na egzamin ustny
Stan na dzień 28-12-2015. Lista może ulec zmianie.
1. Przestrzeń wektorowa. Definicja, własności, przykłady, podprzestrzenie.
2. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
3. Odwzorowania liniowe. Jądro i obraz.
4. Macierz odwzorowania liniowego. Zmiana baz. Mnożenie macierzy.
5. Rząd macierzy. Operacje elementarne. Redukcja wierszowa i kolumnowa. Baza jądra
i baza obrazu.
6. Wyznacznik. Definicja i własności. Istnienie i jednoznaczność.
7. Operacje elementarne a wyznacznik.
8. Rozwinięcie Laplace’a.
9. Wektory i wartości własne. Wielomian charakterystyczny.
10. Tw. Cayleya-Hamiltona.
11. Funkcje od operatora.
12. Przestrzenie z iloczynem skalarnym. Własności iloczynu skalarnego. Nierówność Schwartza.
13. Sprzężenie hermitowskie. Operatory ortogonalne, unitarne, symetryczne, hermitowskie i rzutowe.
14. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo.
15. Schematy kombinatoryczne: kombinacja, permutacja, wariacja z powtórzeniami i bez
powtórzeń.
16. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór Bayesa.
17. Zdarzenia niezależne.
18. Zmienna losowa. Dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej. Zmienne ciągłe i dyskretne.
19. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Własności.
20. Kowariancja, współczynnik kowariancji, regresja liniowa.
21. Przykłady rozkładów i ich własności: dwupunktowy, Bernouliego, Poissona, jednostajny, wykładniczy, normalny.
22. Niezależne zmienne losowe. Własności wartości oczekiwanej, wariancji, kowariancji.
23. Łańcuchy Markowa. Macierz stochastyczna. Stany chwilowe i powracające.
24. Błądzenie przypadkowe w wymiarze 1, 2 i 3.
25. Szeregi Fouriera.
26. Transformata Fouriera.