pobierz

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7.
ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Definicja (funkcja)
Niech zbiory X , Y 
będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x  X dokładnie jednego elementu y  Y . Funkcję
taką oznaczamy przez f : X  Y . Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).
Definicja (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości)
Niech f : X  Y . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f , a zbiór Y
nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponad to zbiór
{ f ( x)  Y : x  D f }
nazywamy zbiorem wartości funkcji. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych
elementów z , dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład
Określić dziedziny naturalne podanych funkcji
a) f ( x)  log ( x 2  1); b) f ( x)  1  2 4 sin x .
Definicja (wykres funkcji)
Wykresem funkcji f : X  Y nazywamy zbiór {( x, y) 
2
: x  X , y  f ( x)} Wtedy zbiór X
nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f , a zbiór Y
Wykres funkcji
Nie jest to wykres funkcji
1
Definicja (funkcja „na”)
na
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy f : X Y , wtedy i tylko wtedy gdy
 y  Y x  X : f ( x)  y.
Geometrycznie funkcja f : X  Y jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś OY pokrywa się ze
zbiorem Y.
Definicja (funkcja okresowa)
Funkcja f : X 
jest okresowa, jeżeli T  0 x  X  x  T  X oraz f ( x  T )  f ( x)  . Liczbę T
nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszy okres funkcji f nazywamy okresem podstawowym.
Definicja (funkcja parzysta)
Funkcja f : X 
jest parzysta, jeżeli x,  x  X f ( x)  f ( x). Funkcja jest parzysta, gdy oś OY jest
osią symetrii jej wykresu.
Definicja (funkcja nieparzysta)
Funkcja f : X 
jest nieparzysta, jeżeli x,  x  X f ( x)   f ( x). Funkcja jest nieparzysta, gdy
początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.
Definicja (funkcja rosnąca)
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A  D f , jeżeli x1 , x2  A ( x1  x2 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )) .
Definicja (funkcja malejąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A  D f , jeżeli x1 , x2  A ( x1  x2 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )) .
Definicja (funkcja nierosnąca i niemalejąca)
Funkcja f jest na zbiorze A  D f
2
1) niemalejąca, jeżeli x1 , x2  A ( x1  x2 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )) ;
2) nierosnąca, jeżeli x1 , x2  A ( x1  x2 )  ( f ( x1 )  f ( x2 )) .
Definicja (funkcja monotoniczna)
Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym
zbiorze.
Definicja (funkcja złożona)
Niech zbiory X , Y , Z ,W 
będą niepuste, przy czym Y  Z oraz niech f : X  Y , g : Z  W .
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g
f : X  W określoną wzorem
( g f )( x)  g ( f ( x)), dla x  X .
Uwaga
Składanie funkcji nie jest przemienne.
3
Przykład
Określić funkcje złożone f
f , f g , g f , g g , f ( x)  2 x , g ( x)  cos x.
Definicja (funkcja różnowartościowa)
Funkcja f jest różnowartościowa, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej w jednym
punkcie.
Definicja (funkcja odwrotna)
na
Niech funkcja f : X Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f
nazywamy funkcję f 1 : Y  X określoną przez warunek
f 1 ( y)  x  y  f ( x), gdzie x  X , y  Y .
Uwaga
Wykres funkcji odwrotnej f 1 otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem
prostej y=x.
Funkcje elementarne
e x  e x
 Funkcje hiperboliczne: 1) sinus hiperboliczny sh x 
, gdzie x  ,
2
2) cosinus hiperboliczny ch x 
e x  e x
, gdzie x  ,
2
4
3) tangens hiperboliczny th x 
sh x
, gdzie x  ,
ch x
4) kotangens hiperboliczny cth x 
ch x
, gdzie x  .
sh x
Fakt (podstawowe tożsamości z funkcji hiperbolicznymi)
1.
ch 2 x  sh 2 x  1, dla każdego x  ;
2.
sh 2 x  2sh x ch x, dla każdego x  ;
3.
ch 2 x  sh 2 x  ch 2 x, dla każdego x  ;
5