Rozkłady: gamma, chi-kwadrat, t-Studenta i F

Rozkªady: gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora
Denicja 1.
Rozkªadem gamma
Gamma(α, λ)
f (x) =
nazywamy rozkªad o g¦sto±ci
λα α−1 −λx
x e ,
Γ(α)
gdzie
Z∞
Γ(α) =
x > 0,
tα−1 e−t dt.
0
α
α
, V arX = 2 .
λ
λ
o n stopniach swobody
EX =
Denicja 2.
Rozkªadem chi kwadrat
losowej
Y =
n
X
nazywamy rozkªad zmiennej
Xi2 ,
i=1
gdzie
X1 , . . . , X n
s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie
EX = n,
Denicja 3.
Rozkªadem t-Studenta o
n
N (0, 1).
V arX = 2n.
stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej
losowej
X
,
T =p
Y /n
gdzie
X ∼ N (0, 1),
Denicja 4.
za±
Y ∼ χ2 (n).
Ozn.
T ∼ t(n).
Rozkªadem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o
m
i
n
stopniach swobody
nazywamy rozkªad zmiennej losowej
Z=
gdzie
XiY
X/m
,
Y /n
s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach chi-kwadrat z
min
stop-
niami swobody, odpowiednio.
FAKT
(1)
E(λ) = Gamma(1, λ),
(2)
χ2 (n) = Gamma
(3) Je»eli
X1 , . . . , X n
n 1
, .
2 2
s¡ niezale»ne o tym samym rozkªadzie
Gamma(α, λ),
to
n
P
Xi
i=1
ma rozkªad
Gamma(nα, λ).
1
Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy
Rozkªady: gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora
Twierdzenie 1.
Niech
iid
X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ).
Wówczas
n
X̄n
1X
Xi ,
=
n i=1
n
S2 =
1 X
(Xi − X̄n )2
n − 1 i=1
s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz
X̄n
σ2
∼ N (µ, ),
n
n−1 2
S ∼ χ2 (n − 1),
σ2
√ X̄n − µ
∼ t(n − 1).
n
S
Wynika st¡d, »e
ES 2 = σ 2 , V arS 2 =
2σ 4
.
(n−1)
2
Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy