Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F
Transkrypt
Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F
Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora. Definicja 1. Rozkładem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkład o gęstości f (x) = λα α−1 −λx x e , Γ(α) gdzie Z∞ Γ(α) = x > 0, tα−1 e−t dt. 0 α α EX = , V arX = 2 . λ λ Definicja 2. Rozkładem chi-kwadrat o n stopniach swobody χ2 (n) nazywamy rozkład zmiennej losowej n X Y = Xi2 , i=1 gdzie X1 , . . . , Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Gęstość i momenty tego rozkładu dane są wzorami: f (x) = 1 k/2 2 xk/2−1 e−x/2 , Γ k2 EX = n, V arX = 2n. Definicja 3. Rozkładem t-Studenta o n stopniach swobody t(n) nazywamy rozkład zmiennej losowej X , T =p Y /n gdzie X ∼ N (0, 1), zaś Y ∼ χ2 (n). Gęstość tego rozkładu dana jest wzorem: − n+1 2 Γ n+1 x2 2 f (x) = √ 1 + . n nπΓ n2 Gdy n > 1, to EX = 0 (dla n = 1 nie istnieje), zaś gdy n > 2, to V arX = n = 1, 2 nie istnieje). n n−2 (dla Definicja 4. Rozkładem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej Z= X/m , Y /n gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z odpowiednio m i n stopniami swobody. 1 FAKT (1) E(λ) = Gamma(1, λ), (2) χ2 (n) = Gamma n 1 , 2 2 . (3) Jeżeli X1 , . . . , Xn są niezależne o tym samym rozkładzie Gamma(α, λ), to n P i=1 ma rozkład Gamma(nα, λ). iid Twierdzenie 1. Niech X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ). Wówczas n X̄n = 1X Xi , n i=1 n S 2 1 X = (Xi − X̄n )2 n − 1 i=1 są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X̄n ∼ N σ2 µ, n n−1 2 S ∼ χ2 (n − 1), 2 σ √ X̄n − µ n ∼ t(n − 1). S Wynika stąd, że ES 2 = σ 2 , V arS 2 = 2σ 4 . (n − 1) 2 , Xi