Wielomiany Równość wielomianów Twierdzenie o dzieleniu

Wielomiany
Wielomianem jednej zmiennej (tu: rzeczywistej) nazywamy funkcję
nazywamy współczynnikami wielomianu.
Liczby
Jeśli
, to liczbę
nazywamy stopniem wielomianu: deg
("degree").
Jeśli
, to wielomian nazywamy zerowym. Ma on wszystkie współczynniki równe zeru.
Takiemu wielomianowi nie przypisujemy żadnego stopnia. (Można mu też przypisać stopień
).
Równość wielomianów
Mówimy, że dwa wielomiany
,
zmiennej rzeczywistej są równe
wartości dla każdej wartości zmiennej :
gdy przyjmują te same
.
Twierdzenie o równości wielomianów
Dwa wielomiany
,
zmiennej rzeczywistej są równe (zapisujemy to:
wtedy gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej .
) wtedy i tylko
Twierdzenie o dzieleniu wielomianów
Jeśli
,
są wielomianami i
,
, że
ilorazem wielomianów
nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany
, przy czym
. Wielomian
i , zaś wielomian — resztą z dzielenia przez .
nazywamy
Podzielność wielomianów
Jeśli
, to mówimy, że wielomian
jest podzielny przez wielomian .
Pierwiastek wielomianu
Pierwiastkiem wielomianu
nazywamy taką liczbę rzeczywistą
, że
.
O dzieleniu wielomianu przez dwumian
Reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
jest równa
.
Twierdzenie Bèzout
Liczba jest pierwiastkiem wielomianu
podzielny przez
.
wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
jest
Inna postać zapisu tw. Bèzouta
Jeśli
jest pierwiastkiem wielomianu
gdzie
, to można go zapisać w postaci:
jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż
,
.
Twierdzenie
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu
wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
Twierdzenie
Każdy wielomian —tego stopnia ma co najwyżej
pierwiastków.
Twierdzenie
Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek.
Krotność pierwiastka
Liczbę
nazywamy —krotnym (gdzie
podzielny przez
pierwiastka.
) pierwiastkiem wielomianu
, ale nie jest podzielny przez
. Liczbę
jest
nazywamy krotnością
Funkcje wymierne
Funkcję:
wymierną.
Dziedziną
, gdzie
tej funkcji jest zbiór
, nazywamy funkcją
są wielomianami i
.