Teoria 13 na kóªko matematyczne dla uczniów XIVLO prowadzone

Teoria 13 na kóªko matematyczne dla uczniów XIVLO
prowadzone przez dra Szymona ›eberskiego
Denicja 1 Zaªó»my, »e G jest grup¡, a H jej podgrup¡, czyli H < G. Mówimy, »e H jest
dzielnikiem normalnym G (piszemy H C G) je±li warstwy lewostronne grupy G wzgl¦dem podgrupy H s¡ równe prawostronnym, tzn. (∀g ∈ G)(gH = Hg).
Fakt 1 Je±li G jest grup¡ abelow¡, to ka»da jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym.
Fakt 2 Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem grup. Wtedy
Ker(ϕ) = {g ∈ G : ϕ(g) = eH } C G.
Denicja 2 Niech N C G. Wtedy G/N jest zbiorem warstw lewostronnych Grupy G wzgl¦dem
podgrupy N wraz z dziaªaniem
(g1 N )(g2 N ) = (g1 g2 )N.
Fakt 3 Dziaªanie powy»sze jest dobrze okre±lone, tzn. nie zale»y od wyboru reprezentantów.
Fakt 4 Niech N C G. Wtedy G/N jest grup¡.
Twierdzenie 1 Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem grup. Wtedy G/(Ker(ϕ) oraz Im(ϕ)
s¡ izomorczne.