Zadanie (wielomiany) Suma wszystkich współczynników

Zadanie (wielomiany)
Suma wszystkich współczynników wielomianu Pn (x) jest równa
1
1 1
lim 1 + + + · · · + n
n→∞
2 4
2
a suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa jest sumie
współczynników przy jej parzystych potęgach. Wyznaczyć resztę R(x) powstałą
z dzielenia wielomianu Pn (x) przez dwumian x2 − 1.
Rozwiązanie
Liczymy granicę podaną w zadaniu. Musimy się zastanowić nad tym co jest w
nawiasie owej granicy. Stwierdzamy, że jest to szereg geometryczny, gdyż q = 21 .
W związku z tym korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego (który
a1
wygląda następująco: Sn = 1−q
) otrzymujemy:
1 1
1
1
lim 1 + + + · · · + n = lim
=2
n→∞
n→∞ 1 − 1
2 4
2
2
Po policzeniu granicy wiemy, że suma wszystkich współczynników tego wielomianu Pn (x) wynosi 2. Pojawia się pytanie: jak znaleźć sumę wszystkich współczynników wielomianu Pn (x)? Ogólny wzór wielomianu Pn jest następujący:
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
Chcielibyśmy z niego uzyskać sumę współczynników:
an + an−1 + · · · + a1 + a0
Jak inaczej możemy zatem znaleźć sumę wszystkich współczynników tego wielomianu (wiemy z granicy, że równa się ona na pewno 2)? Zadajmy sobie pytanie
ile musi równać się x, aby po podstawieniu tego x do ogólnej postaci wielomianu
uzyskać tę sumę. Po zastanowieniu stwierdzamy, że x = 1. Możemy to zapisać
jako:
Pn (1) = 2
Wiemy również, że suma współczynników przy parzystych potęgach musi być
równa sumie współczynników przy nieparzystych potęgach wielomianu Pn (x).
Znowu wracamy do naszego wielomianu Pn (x) w ogólnej postaci. Przypomnijmy
postać tego wielomianu
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
chcemy, aby
an + an−2 + an−4 + · · · + a0 = an−1 + an−3 + · · · + a1
po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę otrzymujemy następujące równanie
an − an−1 + an−2 − an−3 + an−4 + · · · − a1 + a0 = 0
1
Możemy sobie w tym miejscu zadać pytanie ile musi wynosić x, aby po podstawieniu go do ogólnej postaci wielomianu Pn (x) otrzymać równanie
an − an−1 + an−2 − an−3 + an−4 + · · · − a1 + a0 = 0
Oczywiście x = −1, czyli
Pn (−1) = 0.
Wielomian Pn (x) możemy inaczej zapisać jako
Pn (x) = Q(x) (x2 − 1) + R(x)
(wynika to oczywiście z treści zadania). W tym miejscu musimy się zastanowić
jaką postać ma reszta w tym dzieleniu. Reszta ma następującą postać:
R(x) = a x + b.
Reszta ma taką postać ponieważ dzielnik jest stopnia drugiego więc reszta z
dzielenia może być co najwyżej stopnia pierwszego.
Układamy teraz dwa równania korzystając z warunków wyprowadzonych wcześniej, czyli
Pn (1) = 2
oraz
Pn (−1) = 0.
Wiemy, że x może się raz równać 1, a innym razem -1. Dlatego też podstawiamy
do równania
Pn (x) = Q(x) (x2 −) + R(x)
1 i -1. Po podstawieniu 1 otrzymujemy:
Pn (1) = R(1),
po podstawieniu -1 otrzymujemy:
Pn (−1) = R(−1).
Z tych danych możemy ułożyć następujący układ równań:
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy: a = 1, b = 1. Stąd postać
reszty tego wielomianu przy dzieleniu przez (x2 − 1) jest następująca:
R(x) = x + 1.
2