Elementy metod numerycznych DEMN LMO Zadania powtórkowe

Elementy metod numerycznych DEMN LMO
Zadania powtórkowe dla grupy 1CB
Prowadzący: Łukasz Smaga
10 października 2011
Zadanie 1. Ile cyfr ułamkowych, istotnych, poprawnych, znaczących ma liczba 0, 000321 ± 0, 6 · 10−6 ?
Zadanie 2. Oblicz f l(a + bc) dla liczb maszynowych a, b, c.
Zadanie 3. Zbadaj propagację błędów funkcji f (x, y) =
x+y
√ .
y
Zadanie 4. Dla wektora x = [−1, 1, −2]0 dobrać wektor y = [y1 , y2 , y3 ]0 taki, aby wskaźnik uwarunkowania zadania
obliczania iloczynu skalarnego wektorów x i y był równy co najwyżej 3.
Zadanie 5. Oblicz wskaźnik uwarunkowania zadania wyznaczania macierzy odwrotnej dla macierzy
1 2
2 1
a) A =
,
b) B =
.
2 4
4 3
Zadanie 6. Stosując algorytm Hornera obliczyć wszystkie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) = x4 − x3 + 3x − 1
w punkcie x0 = 3.
√
Zadanie 7. Przy pomocy wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a (stopnia 2) obliczyć wartość 17 i oszacować błąd
przybliżenia.
Zadanie 8. Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite’a odpowiedniego stopnia interpolujący funkcję f mając następujące
dane: f (0) = f 0 (0) = 0, f (1) = f 0 (1) = 3.
Zadanie 9. Znajdź rozkład LU macierzy

3
A= 2
2
Zadanie 10. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż

3
 2
2
2
3
1

1
1 .
3
układ równań:


 
x1
2 1
5
3 1   x2  =  1 
1 3
x3
11
Zadanie 11. Korzystając z metody Newtona wyznacz wzór rekurencyjny na obliczanie wartości
p
5
φ2 , gdzie φ > 0.
Zadanie 12. Dla równania 2x3 − x2 − 110 = 0, x > 1 skonstruować dwie własne metody iteracyjne jego rozwiązywania
oraz zbadać wykładnik zbieżności dla każdej metody.
Zadanie 13. Za pomocą metody Sturma określić liczbę różnych pierwiastków rzeczywistych oraz podać ich lokalizację
dla wielomianu w(x) = x3 − 2x2 − 5x + 5.
Zadanie 14. Za pomocą metody Fouriera określić lokalizację pierwiastków wielomianu w(x) = x4 − x3 − 23x2 − 3x + 90.
Zadanie 15. Za pomocą metody Laguerre’a określić lokalizację pierwiastków wielomianu w(x) = x2 − 3x + 11.
Zadanie 16. Za pomocą metody Kartezjusza określić lokalizację pierwiastków wielomianu w(x) = x4 − 3x3 − 54x2 −
150x − 100.
Zadanie 17. Obliczyć przybliżoną wartość całki
R2
(x5 + 2) dx stosując
0
a) złożony wzór trapezów z krokiem h = 41 ,
b) złożony wzór Simpsona z krokiem h = 14 ,
c) metodę Gaussa-Legendre’a z n = 3.
1