Przestrzenie metryczne Zadanie 1 Sprawdzić, że poniższe wzory

Przestrzenie metryczne
Zadanie 1 Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metryki na płaszczyźnie R2 :
(a) (metryka euklidesowa) d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
√
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 ;
(b) (metryka miejska) d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |y1 − x1 | + |y2 − x2 |;
(c) (metryka szachowa) d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{|y1 − x1 |, |y2 − x2 |};

 1,
(d) (metryka trywialna) dt ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
 0,
gdy (x1 , x2 ) ̸= (y1 , y2 )
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 )
(e) (metryka
pocztowa) dP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =

=
 d ((x , x ), (P , P )) + d ((P , P ), (y , y )),
2
1 2
1
2
2
1
2
1 2
 0,
gdy (x1 , x2 ) ̸= (y1 , y2 )
gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 )
,
,
gdzie P = (P1 , P2 ) to ustalony punkt;
(f) (metryka
- rzeka) drz (u, z) =

=
 | Im u − Im z|,
 | Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|,
gdy Re u = Re z
gdy Re u ̸= Re z
,
gdzie u, z ∈ C ≃ R2 .
√
Zadanie 2 Zaznaczyć na płaszczyźnie (R2 , d) następujące zbiory B((3, 2), 2) B((3, 2), 17),
√
B((6, 4), 1), B((6, 4), 3), B((6, 4), 13), B((6, 4), 4), B((6, 4), 5), B((6, 4), 8), B((6, 4), 9), gdzie d jest
jedną z metryk z zadania 1. Przyjąć P = (0, 2).
Zadanie 3 Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metrykę w N:
(a) d(x, y) = |x2 − y 2 |;
(b) d(x, y) = | x1 − y1 |;
x
(c) d(x, y) = | 1+x
−
y
1+y |;
Zadanie 4 Zbadać czy następując podzbiory R i R2 są domknięte/otwarte:
(a) (−2, 4), [1, 3], [3, 5); (b) [1, 2] ∪ {7}, [1, 2) ∪ {7}; (c) (−∞, 2], (0, ∞), (−∞, 2] ∪ (0, ∞);
(d) [0, 1] ∩ Q, (0, 1) ∩ Q;
(e) { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, { n1 +
1
m
: n, m ∈ N};
(f) (0, 1) × (1, 2), [−1, 2] × [0, 3], (1, 2] × [1, 2), (1, 3) × [2, 4];
(g) {(x, y) ∈ R2 : x < y + 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 + y < 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 < 1, 2x ¬ 1, y > 0};
(h) {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y 2 > 4}, {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 ¬ 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 9}.
Rozważyć różne metryki z zadania 1. Znaleźć domknięcia, wnętrza i brzegi tych zbiorów.
1