Topologia

Topologia
Wykład 1
Metryka - pierwsze starcie
0. Zasady zaliczania
Literatura
1. Kuratowski „Wstęp do teorii mnogości i topologii”
2. Engelking „Topologia ogólna”
3. Gładysz „Wstęp do topologii”
4. Jänich „Topologia”
5. Buskes, van Rooij „Topological Spaces: From Distance to Neighborhood”
6. Kelley „General Topology”
7. Archangielski, Ponomariow „Podstawy topologii ogólnej w zadaniach”
1. Wstęp, czyli jak ja patrzę na topologię?
Topos (gr.) - miejsce, okolica. Nauka o okolicy. Topologia zajmuje się badaniem zbiorów
(pierwotnie: figur geometrycznych) sprawdzając, czy poszczególne punkty mają podobne
okolice. Część roli porównywania zbiorów (figur) spełnia geometria. Jedna z różnic jest taka,
że geometria rozróżnia między kołem a kwadratem (mówimy o pełnych figurach - wraz z
ich wnętrzem), a topologia nie. Gdyby kwadrat wykonać z plasteliny to poprzez ugniatanie
i rozciąganie można przerobić kwadrat na koło, i odwrotnie. Topologia pozwala ugniatać
(przekształcać w sposób ciągły), a geometria nie (woli przesuwać, obracać i odbijać - nie
odróżnia więc kwadratów położonych w różnym miejscu i pod różnymi kątami względem
obserwatora). Topologia zajmuje się raczej odróżnianiem kółka od kółka z jedną dziurką, np.
z wyrzuconym środkiem. Kółka z dziurką nie można uzyskać z pełnego kółka bez rozerwania
go w jednym miejscu, a rozrywać topologia nie lubi. Za to ma problem z odróżnieniem kółka
bez środka od pierścienia (kółka z okrągłą dziurą). Odróżnia też kółko z brzegiem od kółka
bez brzegu (uwaga: kółko bez brzegu jest trudne do wykonania z plasteliny).
Ale dla nas, zwłaszcza na początku, topologia będzie nauką o odległościach. I o bliskościach. Niekoniecznie bowiem trzeba umieć znać odległość (czyli po topologicznemu: mieć
w przestrzeni metrykę), żeby móc powiedzieć, że jakieś obiekty są coraz bliżej innych (czyli,
że ciąg jest zbieżny). My wiemy z analizy, co oznacza (zazwyczaj) odległość i zbieżność
w R, R2 , może nawet ogólnie w Rn . Pozwala nam to definiować granice funkcji, ciągłość,
pochodne, całki, a w konsekwencji wyciągać ciekawe wnioski na temat funkcji, wybierać,
które funkcje są ciekawe, a które bezużyteczne dla praktycznych celów, rozwiązywać równania różniczkowe... Gdzieś na początku leży jednak informacja, że odległość między dwoma
punktami x, y ∈ R dana jest wzorem:
d(x, y) = |x − y|.
Zadanie: przeszczepić pojęcie odległości na inne przestrzenie i sprawdzić konsekwencje.
2. Metryka. Przestrzeń metryczna.
Definicja 1. Metryką na zbiorze X nazywamy funkcję dwóch zmiennych d : X×X → [0, ∞)
spełniającą warunki
1
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y) dla dowolnych x, y, z ∈ X (nierówność trójkąta).
Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Twierdzenie 1. Podzbiór Y przestrzeni metrycznej (X, d) tworzy przestrzeń metryczną z
tą samą metryką obciętą do Y .
Będziemy pisać (Y, d) ignorując operację obcięcia metryki (ale niektóre źródła piszą
(Y, d|Y )). Parę (Y, d) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni metrycznej (X, d).
Jeśli (V, k·k) jest przestrzenią unormowaną, to norma zadaje metrykę wzorem
d(v̄, w̄) = kv̄ − w̄k.
Ale nie każda metryka pochodzi od normy, nawet w przestrzeniach mających strukturę
liniową. Np. metryka dyskretna w R, tzn. d(x, y) = 1 dla x 6= y, d(x, x) = 0, albo metryka „mur” d(x, y) = |x − y|, gdy x i y są tego samego znaku, d(x, y) = |x − y| + 1 w
przeciwnym razie (na potrzeby tej definicji przyjmijmy, że zero jest tego samego znaku, co
liczby dodatnie). Zatem rozważania dotyczące przestrzeni metrycznych są ogólniejsze niż
dotyczące przestrzeni unormowanych, a pojęcia i twierdzenia prawdziwe w przestrzeniach
metrycznych nadają się do użycia w przestrzeniach unormowanych.
3. Podstawowe pojęcia w przestrzeni metrycznej (X, d):
Definicja 2. Kula otwarta o środku w x0 i promieniu r to zbiór:
K(x0 , r) = Kr (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} .
Kula domknięta to zbiór:
K̄(x0 , r) = K̄r (x0 ) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ¬ r} .
Wiele dalszych pojęć będzie bazować na pojęciu kuli.
Przykłady:
1. Metryki w N ∪ {0}: odziedziczona z R, tzn. d(m, n) = |m − n|, vs. zadająca topologię
1
1
ciągu n1 , tzn. ρ(m, n) = | m
− n1 | dla m, n 6= 0, ρ(0, m) = m
.
2. Metryki w Rn pochodzące od norm: taksówkowa d1 , euklidesowa d2 i maksimum d∞ .
Jak wyglądają kule w tych metrykach w R2 ?
3. Metryka „węzeł kolejowy” w R2 :
(
d(x, y) =
d2 (x, y)
gdy x i y leżą na wspólnej prostej przechodzącej przez
d2 (x, (0, 0)) + d2 ((0, 0), y) w przeciwnym razie,
gdzie d2 jest metryką euklidesową (narysować kulkę na ćwiczeniach).
2
4. Metryka „rzeka” w R2 : dana jest prosta l w R2 . Definiujemy
(
d(x, y) =
d2 (x, y)
d2 (x, y) + d2 (x, x0 ) + d2 (y, y 0 )
gdy prosta przechodząca przez x i y jest prostopadła do l
w przeciwnym razie
gdzie d2 jest metryką euklidesową, x0 rzutem x na l, a y 0 rzutem y na l (narysować
kulkę na ćwiczeniach).
5. Standardowa metryka w C([0, 1]): d∞ (f, g) = kf − gk∞ = supx∈[0,1] |f (x)−g(x)|. Jak
wygląda kula?
6. Inna metryka w C([0, 1]): d1 (f, g) =
przedniej metryce!
R
|f − g|d λ. Kule są znacząco inne niż w po-
Dalej rozważamy abstrakcyjną przestrzeń metryczną (X, d). Najpierw zestaw definicji
uogólniających znane pojęcia dotyczące zbiorów.
Definicja 3. Średnicą zbioru A ⊂ X nazywamy liczbę
diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}
Średnicę często oznacza się też przez δ(A).
Definicja 4. Odstępem punktu x od zbioru A nazywamy liczbę
d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}
(własności na ćwiczeniach)
Definicja 5. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula Kr (x0 ) taka, że A ⊂
Kr (x0 ).
Równoważnie można zażądać, by średnica była skończona, ale powyższą definicję lepiej
będzie później uogólniać.
Powyższe definicje można używać także w kontekście przestrzeni, np. przestrzeń (N ∪
{0}, ρ) z przykładu pierwszego jest ograniczona, a jej średnicą jest 1.
Definicja 6. Niech (X, dX ) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X → Y
jest ograniczona, gdy zbiór dY (f (X)) jest ograniczony (równoważnie diam(f (X)) < ∞).
Definicja 7. -otoczenie zbioru A (kula uogólniona) to zbiór
K (A) = {x : d(x, A) < }.
3