PŁASKIE USTROJE POWIERZCHNIOWE Podstawowe definicje

Transkrypt

Podstawowa klasyfikacja
Charakterystyka ustroju powierzchniowego
Równania teorii sprężystości (3D)
Literatura
PŁASKIE USTROJE POWIERZCHNIOWE
Podstawowe definicje
PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA
USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI
przedmiot fakultatywny
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Adam Wosatko
Anna Stankiewicz
PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW...
Literatura
Tematyka wykładu
1
2
3
4
Literatura
Literatura
Ustrój powierzchniowy
Wyróżniamy ustroje:
a) prętowe
b) powierzchniowe
c) bryłowe
powierzchnia górna
powierzchnia środkowa
oś
grubość
powierzchnia dolna
powierzchnia boczna
a) prętowe (1D)
b) powierzchniowe (2D)
c) bryłowe (3D)
Ustrój powierzchniowy (UP) - trójwymiarowe ciało odkształcalne, którego
grubość h jest mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami. Ustrój ten
jest ograniczony powierzchniami: górną, dolną i bocznymi, a jego
reprezentantem geometrycznym w teorii dźwigarów cienkich jest
powierzchnia środkowa.
Literatura
Powierzchnia środkowa, przekrój normalny
Geometrię dźwigarów powierzchniowych
(cienkich i umiarkowanie grubych) opisuje powierzchnia środkowa.
W punkcie na powierzchni definiujemy przekrój poprzeczny, którym są
dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne Π1 , Π2 .
Na przecięciu obu płaszczyzn Π1 , Π2 leży odcinek (włókno), którego
zachowanie się w trakcie deformacji podlega ścisłemu opisowi (tzn.
więzom kinematycznym Kirchhoffa-Love’a lub Mindlina-Reissnera).
t.)
ns
a
ξ2
(
e2
n
co
Π2
n
(ξ1
=c
1
Π
onst
e2
e1
.)
r
Π1
iZ
iY
iX
ds2 = 1
=
ds 1
e1
P
Z
=
Y
R2
R1
O
X
Literatura
Powierzchnia środkowa,
powierzchnia równo oddalona od środkowej
Położenie punktu na powierzchni środkowej Π opisuje wektor:
r = r(X , Y , Z ) = r(ξ1 , ξ2 )
Powierzchnię równo oddaloną Π(z) opisuje równanie:
r(z) = r + zn,
−
gdzie
h
h
≤z ≤
2
2
(z )
ξ2
(z )
e2
n = n(z )
Π(z )
(z )
e1
P (z )
ξ2
e2
P
r(z )
(z )
ξ1
Π
e1
ξ1
r
Literatura
Rodzaje powierzchni
Powierzchnie mogą być:
a) wyniosłe,
b) mało wyniosłe,
c) płaskie.
z
(a)
(b)
(c)
x
ξ2
Ly
ξ1
x
R1
R2
y
z
z
y
Lx
Literatura
Podstawowy podział ustrojów powierzchniowych
W zależności od typów powierzchni środkowej wyróżniamy:
ustroje modelowane za pomocą płaszczyzny środkowej
tarcze
płyty
ustroje modelowane za pomocą pojedynczo lub podwójnie
zakrzywionej powierzchni środkowej
powłoki
Literatura
Definicja tarczy
Tarczą nazywamy płaski dźwigar powierzchniowy, modelowany za
pomocą płaszczyzny środkowej, z obciążeniem leżącym jedynie w tej
płaszczyźnie, o stałym wzdłuż grubości rozkładzie naprężeń.
Literatura
Definicja płyty
Płytą zginaną nazywamy płaski dźwigar powierzchniowy, modelowany
za pomocą płaszczyzny środkowej, z obciążeniem prostopadłym do tej
płaszczyzny, o liniowo zmiennym wzdłuż grubości rozkładzie naprężeń.
Literatura
Definicja powłoki
Powłoką nazywamy dźwigar powierzchniowy zakrzywiony.
Literatura
Opis ustrojów powierzchniowych uwzględnia:
opis geometrii powierzchni środkowej i powierzchni równo oddalonej
od niej
opis więzów kinematycznych nakładanych na sposób deformacji
definicje uogólnionych odkształceń w punkcie na powierzchni
środkowej
definicje uogólnionych sił przekrojowych na powierzchni środkowej
charakterystykę podstawowych stanów naprężeń
Literatura
Podstawowe koncepcje mechaniki dźwigarów
powierzchniowych
opis jako dwuwymiarowego kontinuum, niezależnie od mechaniki
trójwymiarowego ośrodka ciągłego
opis za pomocą równań ciała trójwymiarowego, modyfikowanych
z uwagi na szczególną geometrię, z wyraźną redukcją do teorii
dwuwymiarowej
Literatura
Grubość ustrojów powierzchniowych
Podział UP ze względu na grubość:
cienkie - obowiązuje teoria Kirchhoffa-Love’a
umiarkowanie grube - obowiązuje teoria Mindlina-Reissnera
grube - analiza 3D
Dla dźwigarów cienkich, model matematyczny (układ równań opisujący
zachowanie się ustroju pod działaniem zewnętrznych czynników) można
znacznie uprościć.
UP cienki to taki, dla którego h/lmin <<< 1.
W szczególności:
dla płyt: h/lmin <
1
10
dla powłok: h/Rmin <
1
20
÷
1
30
Literatura
Wielkości znane dla zagadnień trójwymiarowych
Przyjmujemy jako znane na wstępie analizy zewnętrzne oddziaływania
(obciążenia i kinematyczne wymuszenia):
wektor obciążeń masowych b̂(3×1) = {b̂x , b̂y , b̂z } [N/m3 ] w Ω
wektor obciążeń brzegowych σ̂ b(3×1) = {σ̂υ1 , σ̂υ2 , σ̂υ3 } [N/m2 ] na ∂Ωσ
wektor przemieszczeń brzegowych ûb(3×1) = {ûυ1 , ûυ2 , ûυ3 } [m] na ∂Ωu
Literatura
Wielkości poszukiwane dla zagadnień trójwymiarowych
Niewiadome w obszarze Ω:
wektor naprężeń σ (6×1) (x, y , z) = {σxx , σyy , σzz , τxy , τxz , τyz } [N/m2 ]
wektor odkształceń ε(6×1) (x, y , z) = {εxx , εyy , εzz , γxy , γxz , γyz } [ – ]
wektor przemieszczeń u(3×1) (x, y , z) = {ux , uy , uz } = {u, v , w } [m]
Zakładamy równość składowych naprężeń stycznych
τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy .
Literatura
Równania teorii sprężystości
dla zagadnień trójwymiarowych
Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii
sprężystości sprowadza się do zapisania układu 15 równań
różniczkowo-algebraicznych i jego rozwiązania. Układ ten zawiera:
równania kinematyczne – 6
równania równowagi wewnętrznej – 3
równania fizyczne – 6
Jego uzupełnieniem muszą być zależności opisujące więzy podporowe
i obciążenia brzegowe, zwane równaniami warunków brzegowych
kinematycznych oraz statycznych.
Literatura
Równania kinematyczne i równowagi
I) równania kinematyczne (6):
εx =
γxy =
∂ux
,
∂x
∂ux
∂uy
+
,
∂y
∂x
εy =
γxz =
∂uy
,
∂y
εz =
∂ux
∂uz
+
,
∂z
∂x
∂uz
,
∂z
γyz =
∂uy
∂uz
+
,
∂z
∂y
II) równania równowagi (3):
∂σx
∂τyx
∂τzx
+
+
+ b̂x = 0,
∂x
∂y
∂z
∂τxy
∂σy
∂τzy
+
+
+ b̂y = 0,
∂x
∂y
∂z
∂τxz
∂τyz
∂σz
+
+
+ b̂z = 0,
∂x
∂y
∂z
Literatura
Równania fizyczne
III) równania fizyczne (6):
εx =
1
[σx − ν(σy + σz )] ,
E
εy =
1
[σy − ν(σx + σz )] ,
E
1
[σz − ν(σx + σy )] ,
E
2(1 + ν)
1
2(1 + ν)
=
τxy , γxz = τxz =
τxz ,
E
G
E
1
2(1 + ν)
τyz .
γyz = τyz =
G
E
εz =
γxy =
1
τxy
G
Literatura
Literatura
M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne
oraz rozwiązania analityczne i numeryczne.
Skrypt PK, Kraków, 2009.
A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk,
Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe.
T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, 1995.
G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementów skończonych
w mechanice konstrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.
W. Starosolski. Konstrukcje żelbetowe.
T. 1,2 i 3, wyd. XII, PWN, Warszawa, 2008.
W. Kolendowicz. Mechanika budowli dla architektów.
Arkady, Warszawa, 1993.

PŁASKIE USTROJE POWIERZCHNIOWE Podstawowe definicje

Transkrypt

Podobne dokumenty

USTROJE POWIERZCHNIOWE Mechanika

Zadanie 5. (5pkt) Ciąg liczbowy ( , , ) jest arytmetyczny i + +

Praca domowa 1 - Marek Pietrow

Wejściówka na kol. nr 2 (dla wszystkich grup) 1. Rozwiąż równanie

TEMATY i ZAGADNIENIA DO PRZYGOTOWANIA DO ĆWICZEŃ Z

Tutaj - Avcon

Goldenote Drum 0,4 Mb

Praca kontrolna z matematyki (poziom rozszerzony) Semestr 3 LO + .

1. Modelowanie matematyczne w fizyce i chemii