I Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych

II Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2013
Zadanie 7.
W populacji A natężenie zgonów dane jest wzorem:
B wzorem
B
x
A
x
1
dla x < 100, a w populacji
100 x
n
dla x < 100, gdzie n jest parametrem rzeczywistym. Wiadomo
100 x
ponadto, że osobniki z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 10% więcej życia, niż
osobniki z B w tym samym wieku. Obliczyć n.
Zadanie 8.
Populacja kobiet (F) jest populacją Weibulla, natomiast śmiertelność mężczyzn (M) opisuje
zależność: x( M ) c x( F ) . Dla jakiej wartości parametru c zachodzi:
(M )
p 20
(F )
40 p 20
40
0,8876,
(M )
p 40
(F )
20 p 40
20
0,94,
(F )
p 40
(F )
20 p 20
20
0,97.
Zadanie 9.
S1 to łączna wartość szkód z pierwszego portfela ryzyk, a S2 to łączna wartość szkód z
drugiego portfela ryzyk. Portfel pierwszy zawiera 300 niezależnych ryzyk, w tym:
Liczba ryzyk
P-stwo zajścia szkody
Oczekiwana wartość
Wariancja wartości
szkody
szkody
100
0,1
1
1
100
0,1
2
4
100
0,1
3
4
Portfel drugi zawiera 300 niezależnych identycznych ryzyk: z p-stwem zajścia szkody
równym 0,1, oczekiwaną wartością szkody równą 2 i wariancją wartości szkody równą 5.
Obliczyć różnicę Var(S2)-Var(S1).
Zadanie 10.
Rozważmy portfel składający się z 60 polis. Dzieli się on na dwa subportfele. Do pierwszego
należy 20 polis z prawdopodobieństwem żądania q1 = 0,02 i kwotą wypłaty 2 jednostki. W
drugim prawdopodobieństwo żądania wynosi q2 = 0,1, a strata, pod warunkiem, że nastąpiło
żądanie, ma rozkład zadany przez gęstość
f ( y)
2(1 y ) dla 0 y 1,
0
poza tym.
Niech S oznacza całkowitą stratę z portfela. Obliczyć względne dodatkowe bezpieczeństwo θ,
dla którego składka pokrywa całkowitą stratę w 95%.
Zadanie 11.
Zakład Ubezpieczeń ma 16 000 polis na życie (wypłata w wypadku śmierci) na okres roku na
następujące sumy:
Suma
ubezp.
bk
10 000
20 000
30 000
50 000
100 000
Liczba
polis
nk
8000
3500
2500
1500
500
Prawdopodobieństwo żądania (śmierci) dla każdej osoby jest q = 0,02 i te żądania są
wzajemnie niezależne. Firma chce ustalić limit udziału własnego. Dla każdego życia limit
udziału własnego jest wielkością poniżej której firma cedująca („nasza”) pokrywa żądania, a
powyżej reasekuruje w firmie reasekurującej. Na przykład, jeżeli limit udziału własnego
wynosi 20 000, zakład zachowuje część sumy ubezpieczeniowej (do 20 000), natomiast
nadwyżkę świadczenia bk ponad 20 000 dla 4500 osób ceduje na reasekuratora. Nasz zakład
chce zminimalizować prawdopodobieństwo tego, że zachowane żądania + suma, którą płaci
za reasekurację, przekroczy 8 250 000. Reasekuracja jest dostępna za 0,025 na jednostkę
pokrycia. Znaleźć limit udziału własnego minimalizującego prawdopodobieństwo
rozważanego zdarzenia (założyć, że limit może przyjmować wartości pomiędzy 30 000 a 50
000).