Algebra abstrakcyjna i kodowanie, I rok inf., WPPT Lista 3

Algebra abstrakcyjna i kodowanie, I rok inf., WPPT
Lista 3 - 23 lutego 2010
Temat: grupa ilorazowa, twierdzenie Lagrange’a, homomrfizm i izomorfizm grup
1. Niech a = 4 ∈ Z8 , gdzie Z8 jest grupą addytywną z dodawaniem modulo 8. Niech H
będzie podgrupą cykliczną generowaną przez a. Ile jest warstw
względem
H? Podaj
wszystkie elementy warstwy 3 + H oraz elementy sumy warstw 3 + H + 2 + H .
2. Niech H = nZ - zbiór liczb całkowitych podzielnych przez n z dodawaniem. Wyznacz
wszystkie warstwy grupy addytywnej liczb całkowitych G = Z względem podgrupy H.
Zilustruj to na przykładzie n = 7.
3. Wskaż elementy (warstwy) grupy ilorazowej Z∗n /H oraz utwórz tabelkę działań w tej
grupie ilorazowej dla n = 7 i H = {1, 2, 4}. Ile elementów ma grupa ilorazowa? Z jakiego
twierdzenia to wynika?
4. Zbiór wszystkich liczb zespolonych C jest grupą ze względu na dodawanie liczb zespolonych. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R jest jej podgrupą. Wyznacz grupę
ilorazową C/R, tzn. opisz warstwy i podaj wzór na sumę warstw.
5. Niech C będzie ciałem liczb zespolonych. Wiadomo, że C jest grupą ze względu na
dodawnie liczb zespolonych. Niech H oznacza zbiór liczb zespolonych czysto urojonych.
Sprawdź, że H jest podgrupą ze względu na dodawanie liczb zespolonych. Jak można
opisać warstwy grupy C względem podgrupy H?
6. Niech H będzie zbiorem wszystkich liczb zespolonych o module równym 1 i niech G = C∗
będzie zbiorem wszystkich liczb zespolonych różnych od zera.
(a) Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych jest działaniem algebraicznym w zbiorze H
i H jest podgrupą grupy G?
(b) Niech z = a + ib będzie dowolną liczbą zespoloną. Opisz warstwę zH. Jaka jest
interpretacja geometryczna warstwy zH? Czy jest to okrąg o promieniu |z|?
(c) Kiedy dwie warstwy względem podgrupy H są równe?
(d) Kiedy dwie liczby zespolone należą do tej samej warstwy?
"
#
a b
7. Udowodnij, że zbiór macierzy postaci
, gdzie a, b − rzeczywiste, a 6= 0, jest
0 1
grupą ze względu na ich mnożenie i że podzbiór tej grupy składający się z macierzy,
w których a = 1, jest dzielnikiem normalnym tej grupy. Czy podzbiór składający się z
macierzy, w których b = 0 jest dzielnikiem normalnym?
8. Niech H = SLn (R) będzie zbiorem wszystkich macierzy rzeczywistych stopnia n o wyznaczniku równym 1. Działaniem jest mnożenie macierzy.
(a) Dlaczego H jest podgrupą grupy G = GLn (R) rzeczywistych macierzy nieosobliwych stopnia n? Jaki warunek (warunki) wystarczy sprawdzić?
(b) Niech C ∈ H i niech A ∈ G. Czy macierz ACA−1 należy do H?
(c) Niech A ∈ G. Opisz macierze należące do warstwy AH. Niech B ∈ AH. Co wiadomo
o wyznaczniku macierzy B? Czy B ∈ HA? Wskazówka. Niech B = AC, C ∈ H.
Wówczas B = (ACA−1 )A.
1
(d) Czy H jest dzielnikiem normalnym grupy G?
9. Niech H będzie podgrupą grupy abelowej G. Udowodnij, że grupa ilorazowa G/H jest
abelowa.
√
10. Niech i = −1. W GL2 (C) rozpatrujemy zbiór Q8 = {±I, ±E ± J, ±K}, gdzie
I=
"
1 0
0 1
#
. E=
"
0 1
−1 0
#
,
J=
"
0 i
i 0
#
,
K=
"
i 0
0 −i
#
.
Udowodnij, że Q8 jest nieabelową podgrupą grupy GL2 (R). Jest to grupa kwaternionów.
Wyznacz podgrupy grupy Q8 i sprawdź, że są one dzielnikami normalnymi grupy Q8 .
11. Sprawdź, że jeśli S jednym z następujących podzbiorów zbioru niezerowych liczb rzeczywistych R∗ : R+ , Q+ , {2k : k ∈ Z}, to zbiór H = {A ∈ GLn (R) : det(A) ∈ S} jest
dzielnikiem normalnym grupy GLn (R).
12. Określ homomorfizmy grupy {Z8 , +8 } z grupami {Z4 , +4 } i {Z2 , +2 }. Czy jądra tych
homomorfizmów są podgrupami grupy {Z8 , +8 }?
13. Niech macierz A ∈ GL2 (Z) będzie ustalona i niech φ(X) = AX określa odwzorowanie
grupy GL2 (Z) w siebie. Pokaż, że to jest homomorfizm. Wyznacz jądro tego homomorfizmu dla macierzy
#
"
1 1
.
A=
0 0
14. Niech G i F będą grupami i niech f : G → F będzie homomorfizmem. Udowodnij, że
jeśli H jest podgrupą grupy G, to f (H) jest podgrupą grupy F.
15. Wskaż izomorfizm grupy addytywnej liczb całkowitych Z z grupą multyplikatywną liczb
wymiernych postaci 2m dla m ∈ Z.
16. Udowodnij, że odpowiadające sobie przy izomorfiźmie elementy grup mają ten sam
rząd. Czy w związku z tym grupa C2 obrotów kwadratu może być izomorficzna z grupą
czwórkową Kleina symetrii prostokąta?
17. Sprawdź, czy dane odwzorowanie jest homorofizmem grup. Wyznacz jądro i obraz tego
homomorfizmu.
(a) f : C∗ → C∗ , f (x) = |z|,
(b) f : GLn (R) → R+ , f (A) = |det(A)|, gdzie R+ jest grupą liczb rzeczywistych
dodatnich z mnożeniem,
(c) Z∗12 → Z∗8 , gdzie f (1) = 1, f (5) = 5, f (7) = 3, f (11) = 7.
18. Udowodnij, że odwozorwanie f : Z → Z określone wzorem f (x) = x − 5 jest izmorfizmem grupy addytywnej liczb całkowitych na grupę liczb całkowitych z następującym
działaniem: x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z.
19. Udowodnij, że następująca grupa G macierzy (z mnożeniem)
G=
("
1 x
0 1
#
:
x∈Z
)
jest izomorficzna z grupą addytywną Z liczb całkowitych.
Krystyna Ziętak
2