6 Równania Laplace`a i Poissona. Elementy teo

Transkrypt

61
Równania Laplace'a i Poissona
6
Równania Laplace'a i Poissona. Elementy teorii potencjaªu
Operatorem Laplace'a
(lub
laplasjanem )
nazywamy operator ró»niczkowy
drugiego rz¦du
∆ :=
∂2
∂2
+
·
·
·
+
∂x21
∂x2n
dziaªaj¡cy na funkcjach rzeczywistych
n
zmiennych
x1 ,
...,
xn .
Z pocz¡tku,
dziedzin¡ operatora Laplace'a b¦dzie przestrze« liniowa funkcji n zmiennych
2
n
klasy C okre±lonych na pewnym obszarze Ω ⊂ R , (chocia» laplasjan mo»na
sensownie zdeniowa¢ na znacznie szerszej klasie funkcji).
Równaniem Laplace'a
nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe dru-
giego rz¦du
∆u = 0,
(RL)
gdzie niewiadoma funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) = u(x) jest okre±lona na obszan
rze Ω ⊂ R . Jako »e macierz jednostkowa jest dodatnio okre±lona, równanie
Laplace'a jest (najprostszym) przykªadem liniowego jednorodnego równania
ró»niczkowego cz¡stkowego drugiego rz¦du, o staªych wspóªczynnikach, typu
eliptycznego.
Równanie ró»niczkowe Laplace'a opisuje stan stacjonarny przy dyfuzji.
u = u(x, y, z) oznacza g¦sto±¢ pewnej substancji w punkcie
(x, y, z). Niech F(x, y, z) oznacza strumie« w punkcie (x, y, z). Zakªadamy,
Zaªó»my, »e
»e strumie« jest proporcjonalny do gradientu g¦sto±ci, i »e dyfuzja nast¦puje
od wi¦kszej do mniejszej g¦sto±ci. Je±li wspóªczynnik proporcjonalno±ci jest
niezale»ny od punktu, otrzymujemy wtedy
F = −a∇u, gdzie a > 0 jest staª¡.
Ponadto zakªadamy, »e substancja nie tworzy si¦ ani nie zanika. Wówczas dla
3
dowolnego obszaru ograniczonego U ⊂ R o dostatecznie regularnym brzegu
∂U
zachodzi
ZZ
hF, ni dS = 0,
∂U
co po zastosowaniu twierdzenia Gaussa daje
ZZZ
div F dV = 0.
U
Poniewa» obszar
U
jest dowolny, zachodzi
−a div(∇u) = 0,
62
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
czyli
−a ∆u = 0,
czyli równanie Laplace'a.
Równaniem Poissona
nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe drugie-
go rz¦du
∆u = g,
(RL)
gdzie
g : Ω → Rn
6.1
jest zadan¡ funkcj¡.
To»samo±ci Greena
Zaªó»my, »e
Ω ⊂ Rn
jest obszarem ograniczonym, o brzegu
∂Ω
wystarcza-
j¡co regularnym na to, by zachodziªo twierdzenie o dywergencji, za± u i v
C 2 na domkni¦ciu Ω̄ = Ω ∪ ∂Ω. Wówczas speªnione s¡
s¡ funkcjami klasy
to»samo±ci Greena :
Z
(I-TG)
v∆u dx = −
(II-TG)
v∆u dx =
Ω
Z
Ω
Z
(6.1)
u=v
2
(uxi ) dx +
Ω i=1
6.2
v≡1
∆u dx =
Z
∂Ω
otrzymujemy
Z X
n
Z
∂Ω
Ω
Z
Ω
Z
∂Ω
u∆v dx +
W szczególno±ci, bior¡c w (II-TG)
Bior¡c w (I-TG)
vxi uxi dx +
Ω i=1
Ω
Z
Z X
n
v
∂u
dS,
∂n
∂u
∂v
v
−u
∂n
∂n
!
dS.
otrzymujemy
∂u
dS.
∂n
to»samo±¢ energetyczn¡ :
u∆u dx =
Z
∂Ω
u
∂u
dS.
∂n
Zagadnienia brzegowe
Je±li chodzi o zastosowania zyczne równania Poissona (w teorii potencjaªu,
na przykªad), zagadnienie Cauchy'ego nie ma zbyt du»ego sensu. Natomiast
zagadnienia brzegowe , polegaj¡ce na znalezieniu takiego rozwi¡zania równania Poissona na obszarze Ω, które na brzegu ∂Ω speªnia warunki brzegowe .
znaczenie maj¡
Typowe warunki brzegowe to:
63
warunek Dirichleta(1) : u
funkcji f ;
warunek Neumanna(2) :
obci¦te do brzegu
pochodna normalna
by¢ równa zadanej funkcji
Zaªó»my, »e
u1 i u2
∂Ω
ma by¢ równe zadanej
∂u/∂n
na brzegu
∂Ω
ma
f.
s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia brzegowego Dirichleta

∆u
na
u
na
=g
=f
Ω,
∂Ω,
∂Ω sa tak regularne,
v := u1 − u2 . Zauwa»my, »e
oraz »e wszystkie wyst¦puj¡ce funkcje i brzeg obszaru
by to»samo±ci Greena byªy speªnione. Oznaczmy
v
jest rozwi¡zaniem nast¦puj¡cego zagadnienia Dirichleta

∆v
=0
v = 0
na
na
Ω,
∂Ω.
Z to»samo±ci energetycznej wynika, »e gradient funkcji
zeru, zatem
v
jest funkcj¡ staª¡. Lecz
musi by¢ równy zeru na caªym
v
v
jest wsz¦dzie równy
jest równy zeru na brzegu
∂Ω, zatem
Ω̄.
Otrzymali±my w ten sposób (warunkow¡) jednoznaczno±¢: je±li rozwi¡zanie wyj±ciowego zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona istnieje, to jest
jedyne.
W przypadku warunków Neumanna sytuacja nieco si¦ komplikuje: powy»sze rozumowanie pokazuje, »e je±li rozwi¡zanie zagadnienia Neumanna
dla równania Poissona istnieje, to jest jedyne z dokªadno±ci¡ do staªej addytywnej.
6.3
Funkcje harmoniczne. Rozwi¡zania fundamentalne
równania Laplace'a
Funkcj¦
u : Ω → R,
cj¡ harmoniczn¡
punkcie obszaru
na
Ω ⊂ Rn jest obszarem, klasy C 2 , nazywamy funkobszarze Ω, je±li speªnia równanie Laplace'a w ka»dym
gdzie
Ω.
Mo»na wykaza¢, »e dla ka»dego
punktu
(1)
ξ
ξ ∈ Rn
po dokonaniu obrotu wokóª
(czyli, mówi¡c formalnie, po zamianie
x
na
A(x − ξ),
gdzie
A
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 1859), matematyk niemiecki.
Carl Gottfried Neumann (1832 1925), matematyk niemiecki (nie myli¢ z Johnem von
Neumannem (1903 1957), matematykiem ameryka«skim pochodzenia w¦gierskiego).
(2)
64
jest macierz¡ ortogonaln¡), równanie Laplace'a nie zmieni si¦. Mo»e to nas
skªoni¢ do szukania sferycznie symetrycznych rozwi¡za« równania Laplace'a.
n
Ustalmy ξ ∈ R . Niech v b¦dzie rozwi¡zaniem równania Laplace'a (na
n
caªym R ) zale»nym tylko od r = kx − ξk. Oznaczaj¡c v(x) = ψ(r) otrzymujemy nast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe zwyczajne
ψ 00 (r) +
n−1 0
ψ (r) = 0.
r
Rozwi¡zuj¡c je otrzymujemy
ψ 0 (r) = Cr1−n ,
co daje
ψ(r) =


C ln r
Cr2−n


2−n
dla
n = 2,
dla
n3
(plus dowolna staªa; odt¡d zakªadamy, »e jest ona równa zeru).
Ω jest obszarem ograniczonym takim, »e zachodz¡ to»samo±ci
u b¦dzie funkcj¡ klasy C 2 na Ω̄, i ustalmy ξ ∈ Ω. Dalej, niech
% > 0 b¦dzie tak maªe, »e kula domkni¦ta B̄(ξ; %) o ±rodku w ξ i promieniu
% jest zawarta w Ω. Oznaczmy przez S(ξ; %) sfer¦ o ±rodku w ξ i promieniu
%, i niech Ω% := Ω \ B̄(ξ; %).
Zauwa»my, »e ∆v = 0 na Ω̄% . Zatem druga to»samo±¢ Greena daje nam
Zaªó»my, »e
Greena. Niech
Z
v∆u dx =
Ω%
Na
S(ξ; %)
Z v
∂Ω
Z ∂v
∂v
∂u
∂u
−u
−u
dS +
v
dS.
∂n
∂n
∂n
∂n
S(ξ;%)
v = ψ(%) i ∂v/∂n = −ψ 0 (%) = −C%1−n .
+
teraz badali co sie dzieje, gdy % → 0 .
mamy
B¦dziemy
Jedn¡ z caªek przeksztaªcamy, korzystaj¡c z to»samo±ci (6.1), do postaci
Z
S(ξ;%)
Z
∂u
v
dS = ψ(%)
∂n
S(ξ;%)
Z
∂u
dS = −ψ(%)
∂n
∆u dx.
B̄(ξ;%)
Jako »e ∆u jest ci¡gªe na B̄(ξ; %), caªka z ∆u po kuli B̄(ξ; %) d¡»y, przy % →
0+ , do zera z szybko±ci¡ %n . Z drugiej strony, −ψ(%) d¡»y do niesko«czono±ci
2−n
jak %
(przy n > 2 lub jak − ln % (przy n = 2). Ostatecznie, powy»sze
+
wyra»enie d¡»y do zera przy % → 0 .
Caªk¦
Z
S(ξ;%)
u
∂v
dS
∂n
65
szacujemy w nast¦puj¡cy sposób
1−n
C%
( min u)ωn %
n−1
¬−
S(ξ;%)
Z
u
S(ξ;%)
∂v
dS ¬ C%1−n (max u)ωn %n−1 ,
S(ξ;%)
∂n
gdzie ωn oznacza (n − 1)-wymiarowe pole powierzchni sfery jednostkowej w
Rn . Zatem, przy % → 0+ , caªka ta d¡»y do Cωn u(ξ).
C = 1/ωn ,
Odt¡d zakªadamy, »e
czyli

ln r




2π
ψ(r) =  r2−n



ωn (2 − n)
dla
n = 2,
dla
n 3.
Teraz dowodzimy, »e
Z
v∆u dx → 0
przy
% → 0+ .
B̄(ξ;%)
Poniewa»
∆u
B̄(ξ; %),
jest funkcj¡ ci¡gª¡ na
Z
v dx → 0
przy
wystarczy pokaza¢, »e
% → 0+ .
B̄(ξ;%)
Istotnie, pewne twierdzenie z teorii caªki (na przykªad, Twierdzenie 4 na
str. 599 ksi¡»ki: L. C. Evans,
Równania ró»niczkowe zwyczajne , Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa, 2002) zastosowane do funkcji
Z
v dx = ωn
Z%
0
B̄(ξ;%)
Zatem
Z
%
R


 r ln r dr
ψ(r)rn−1 dr = 0 R%
 1
 2−n
v∆u dx →
Ω%
Z
v∆u dx
r dr,
v
daje
gdy
n=2
gdy
n 3.
0
przy
% → 0+ .
Ω
Otrzymali±my wzór
Z
Ω
Oznaczmy
(6.2)
v∆u dx =
Z ∂Ω
K(x; ξ) := ψ(kx − ξk).
u(ξ) =
Z
Ω
K(x; ξ)∆u dx −
∂u
∂v
−u
dS + u(ξ).
∂n
∂n
v
Powy»szy wzór przybiera posta¢
Z ∂Ω
∂u
∂K(x; ξ)
K(x; ξ)
− u(x)
dSx ,
∂nx
∂nx
66
gdzie
ξ ∈ Ω.
Natomiast, gdy
Z
ξ∈
/ Ω̄,
K(x; ξ)∆u dx −
Ω
zachodzi
Z ∂K(x; ξ)
∂u
− u(x)
dSx = 0
∂nx
∂nx
K(x; ξ)
∂Ω
(wniosek z drugiej to»samo±ci Greena).
Gdy
u
Ω,
jest ponadto harmoniczna na obszarze
wzór (6.2) przyjmuje
posta¢
u(ξ) = −
(6.3)
Z ∂Ω
Zauwa»my, »e funkcja
∂K(x; ξ)
∂u
− u(x)
dSx ,
K(x; ξ)
∂nx
∂nx
K(x, ξ)
jest klasy
C∞
wzgl¦dem
x
i
ξ
Zatem praw¡ stron¦ powy»szej równo±ci mo»na ró»niczkowa¢,
x 6= ξ .
wzgl¦dem ξ ,
gdy
pod znakiem caªki dowolnie wiele razy.
K(x, ξ) mo»na w oczywisty sposób przedªu»y¢ na zbiór
{ (x, ξ) ∈ C × C : x 6= ξ }. Taka przedªu»ona funkcja jest ró»niczkowalna w
sensie zespolonym, i wynika st¡d, »e u jest rzeczywist¡ funkcj¡ analityczn¡
n zmiennych rzeczywistych.(3)
Co wi¦cej, funkcj¦
u niekoniecznie jest harmoniczzamiast K(x, ξ) we¹miemy
Powró¢my teraz do to»samo±ci (6.2), gdy
na. To»samo±¢ ta jest nadal speªniona, gdy
G(x, ξ) = K(x, ξ) + w(x),
gdzie
w
jest funkcj¡ klasy
C2
na
Ω̄,
harmoniczn¡ na
Ω
(jest to znów wniosek
z drugiej to»samo±ci Greena),
Powy»sza uwaga znajdzie zastosowanie pó¹niej, przy konstrukcji tzw.
Ω to kuG(x, ξ) = ψ(kx −
funkcji Greena. Na razie, rozpatrzmy szczególny przypadek, gdy
B(ξ; %), o ±rodku w ξ i promieniu % > 0,
ξk) − ψ(%). Na sferze S(ξ; %) zachodzi
la otwarta
G ≡ 0,
za±
1 1−n
∂G
= ψ 0 (%) =
% .
∂nx
ωn
Zatem
(6.4)
u(ξ) =
Z
B(ξ;%)
(3)
(ψ(kx − ξk) − ψ(%))∆u dx +
Z
1
ωn %n−1
u(x) dSx
S(ξ;%)
Jest to tylko naszkicowany schemat rozumowania. Peªen dowód wymaga znajomo±ci
teorii funkcji holomorcznych wielu zmiennych.
67
dla dowolnej funkcji klasy
na
B(ξ; %),
otrzymujemy
C2
na
B̄(ξ; %).
Z
1
u(ξ) =
ωn %n−1
(6.5)
Gdy
u
jest ponadto harmoniczna
wzór Gaussa o ±redniej arytmetycznej :
u(x) dSx .
S(ξ;%)
Funkcj¦
x 7→ K(x, ξ)
nazywamy
nia Laplace'a o biegunie w
ξ.
rozwi¡zaniem fundamentalnym
równa-
Poj¦cie rozwi¡zania fundamentalnego wpro-
wadza si¦ dla dowolnego (liniowego) operatora ró»niczkowego o dostatecznie
regularnych wspóªczynnikach. Nie ma tu miejsca na wnikanie w szczegóªy, w
ka»dym razie w przypadku równania Laplace'a chodzi o to, »e dla dowolnej
∞
funkcji ϕ klasy C
na Ω, o zwartym no±niku zawartym w Ω, ma zachodzi¢
ϕ(ξ) =
(6.6)
Z
K(x; ξ)∆ϕ(x) dx,
ξ ∈ Ω,
Ω
co jest wnioskiem z (6.2).
Innym wnioskiem z (6.2) jest
u(ξ) = ∆ξ
(6.7)
wzór Poissona(4) :
Z
!
K(x; ξ)u(x) dx
Ω
u klasy C 2 na Ω̄ i ξ ∈ Ω. Dowód wzoru Poissona (6.7) w przypadku, gdy u
ma zwarty no±nik zawarty w Ω, polega na zmianie kolejno±ci ró»niczkowania
po ξ i caªkowania po x.
dla
6.4
Zasada maksimum
Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω.
2
Niech u : Ω̄ → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡, klasy C na Ω, speªniaj¡c¡ na Ω
równanie Poissona ∆u = g , gdzie g > 0.
Funkcja u o powy»szych wªasno±ciach musi gdzie± osi¡ga¢ swoj¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄. Zaªó»my, »e jest to x ∈ Ω. Zatem ∇u(x) = 0 oraz macierz
drugich pochodnych funkcji u w x musi by¢ niedodatnio okre±lona, w szczególno±ci wszystkie pochodne uxj xj musz¡ by¢ w tym punkcie niedodatnie, co
daje sprzeczno±¢. Zatem u osi¡ga swoj¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ gdzie± na
brzegu ∂Ω.
Zaªó»my teraz, »e g 0 na Ω. Rozwa»my funkcj¦
Zaªó»my, »e
v(x1 , . . . , xn ) := u(x1 , . . . , xn ) + ε (x1 )2 + . . . + (xn )2 ,
(4)
Nie myli¢ ze
wzorem caªkowym Poissona , o którym mowa b¦dzie dalej.
68
gdzie
ε > 0.
Zachodzi
∆v = g + 2nε > 0
na
Ω.
Zatem, dla ka»dego
x ∈ Ω̄,
v(x) ¬ max{ u(ξ) + εkξk2 : ξ ∈ ∂Ω } ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2 ,
gdzie
R = max{ kξk : ξ ∈ Ω̄}.
Ale
u(x) ¬ v(x),
wi¦c
u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2 .
ε
D¡»¡c z
do zera, otrzymujemy
u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω }.
Zaªó»my teraz, »e
u,
ci¡gªa na
Ω̄
i klasy
C2
Laplace'a. Stosuj¡c powy»sze rozumowanie do
min u ¬ u(x) ¬ max u,
(Max-S)
∂Ω
Jest to tzw.
∂Ω
na
u
Ω,
i do
speªnia na
−u
Ω
równanie
otrzymujemy, »e
∀ x ∈ Ω̄.
sªaba zasada maksimum.
W szczególno±ci,
max |u| = max |u|.
∂Ω
Ω̄
Interpretacja zyczna sªabej zasady maksimum.
Niech
u(x, y, z)
oznacza temperatur¦ w punkcie
my, »e w ka»dym punkcie
(x, y, z)
brzegu
∂Ω
(x, y, z)
temperatura,
Ω. Zaªó»f (x, y, z), jest
ciaªa
utrzymywana niezale»nie od czasu. Je±li ciepªo ani nie jest wytwarzane, ani
nie zanika w ciele
Ω (nie jest wykluczona wymiana ciepªa poprzez brzeg ∂Ω),
to stan stacjonarny temperatury jest rozwi¡zaniem zagadnienia brzegowego
Dirichleta

∆u
na
u
na
=0
=f
Ω
∂Ω.
Z zasady maksimum wynika, »e w ka»dym punkcie ciaªa
Ω temperatura musi
zawiera¢ si¦ pomi¦dzy najmniejsz¡ a najwi¦ksz¡ warto±ci¡ temperatury na
brzegu
6.4.1
∂Ω.
Wnioski ze sªabej zasady maksimum
Pierwszym wnioskiem ze sªabej zasady maksimum b¦dzie nast¦puj¡cy:
2
Niech u1 , u2 , ci¡gªe na Ω̄ i klasy C na Ω, b¦d¡ rozwi¡zaniami zagadnienia
Dirichleta

∆u
na
u
na
=g
= f,
Ω
∂Ω.
69
Ω,
Wówczas ich ró»nica speªnia równanie Laplace'a na
∂Ω,
i jest równa zeru na
zatem z (Max-S) wynika, »e jest stale równa zeru na
Ω̄.
Otrzymali±my zatem alternatywny dowód (warunkowej) jednoznaczno±ci
rozwi¡zania zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona (przy sªabszych
zaªo»eniach ni» przy wykorzystywaniu to»samo±ci energetycznej).
Zajmiemy si¦ teraz oszacowaniem normy rozwi¡zania powy»szego zagadnienia Dirichleta w terminach norm funkcji
jest ci¡gªa na
f
i
g
(zakªadamy ponadto, »e
g
Ω̄).
Zauwa»my, »e zachodzi
∆ u+
1
2n
max |g| kxk2 0.
Ω̄
Zatem
u(x) +
1
2n
max |g| kxk2 ¬ max |f | +
∂Ω
Ω̄
Stosuj¡c analogiczne rozwa»ania do
−u
1
R2
2n
max |g| ∀ x ∈ Ω.
Ω̄
otrzymujemy, »e
|u(x)| ¬ max |f | + n1 R2 max |g| ∀ x ∈ Ω.
∂Ω
Ω̄
Z liniowo±ci równania wynika, »e je±li niewiele zaburzymy
przestrzeni Banacha
Banacha
Banacha
C(Ω̄)),
C(Ω̄)).
C(∂Ω)),
i niewiele zaburzymy
g
f
(w normie
(w normie przestrzeni
to rozwi¡zanie niewiele si¦ zmieni (w normie przestrzeni
Oczywi±cie, musimy mie¢ zagwarantowane, »e rozwi¡zanie
w ogóle istnieje.
6.4.2
Mocna zasada maksimum
Okazuje si¦, »e zachodzi nast¦puj¡ca
mocna zasada maksimum :
Twierdzenie 6.1. Zaªó»my, »e u : Ω̄ → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ na Ω̄, klasy
C 2 na Ω, i tak¡, »e ∆u 0 na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡
warto±¢ na Ω̄ w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa.
Dowód.
Oznaczmy
M := max{ u(x) : x ∈ Ω̄ }. Obszar Ω jest sum¡ rozª¡czn¡
dwóch zbiorów
Ω1 := { x ∈ Ω : u(x) = M },
To, »e zbiór
»e zbiór
Ω1
Ω2
Ω2 := { x ∈ Ω : u(x) < M }.
u. Wyka»emy teraz,
% > 0 b¦dzie takie, »e
jest otwarty, wynika z ci¡gªo±ci funkcji
te» jest otwarty. We¹my
ξ ∈ Ω1 ,
i niech
610
B̄(ξ; %) ⊂ Ω.
Stosuj¡c wzór (6.4) do
B(ξ; r),
gdzie
0 < r ¬ %,
otrzymujemy,
»e
Z
1
ωn rn−1
M = u(ξ) ¬
u(x) dSx .
S(ξ;r)
supS(ξ;r) u ¬ M ,
M na kuli B(ξ; %).
Ale
zatem jedyna mo»liwo±¢ to taka, »e
u
jest stale równe
Ω jest sum¡ rozª¡czn¡ zbiorów otwartych
Ω2 . Zatem jeden z tych zbiorów musi by¢ pusty. Je±li Ω1 jest pusty,
funkcja u przyjmuje najwi¦ksz¡ warto±¢ na Ω̄ tylko gdzie± na brzegu ∂Ω.
Je±li Ω2 jest pusty, u jest staªa.
Otrzymali±my wi¦c, »e obszar
Ω1
i
Je±li
do
−u
u
jest ponadto harmoniczna na
otrzymujemy
warto±¢ na
Ω̄
Ω,
to stosuj¡c powy»sze twierdzenie
mocn¡ zasad¦ minimum : je±li u osi¡ga sw¡ najmniejsz¡
w pewnym punkcie z
Ω,
to jest staªa.
Warto wspomnie¢, ze idea dowodu powy»szego twierdzenia mo»e posªu»y¢
przy dowodzie nast¦puj¡cej wersji mocnej zasady maksimum/minimum:
Twierdzenie 6.2. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u, harmoniczna na Ω, ma w jakim± punkcie ξ ∈ Ω ekstremum lokalne, to jest staªa.
Istotnie, rozumuj¡c przy wykorzystaniu wzoru Gaussa o ±redniej arytmetycznej (6.5) otrzymujemy, »e
w punkcie
ξ.
jest staªa na pewnej kuli otwartej o ±rodku
Za± z analityczno±ci wynika, »e je±li
otwartym podzbiorze obszaru
6.5
u
Ω,
u
jest staªa na pewnym
to jest staªa na caªym
Ω.
Funkcje Greena
Rozwa»my zagadnienie Dirichleta
(6.8)
gdzie
Ω ⊂ Rn

∆u
na
u
na
=0
=f
Ω,
∂Ω,
jest obszarem ograniczonym, o brzegu
∂Ω
klasy
C 2 (5)
Niech
G(x; ξ) = K(x; ξ) + v(x; ξ),
(5)
Mówimy, »e brzeg ∂Ω jest klasy C 2 , je±li dla ka»dego punktu x̃ ∈ ∂Ω istnieje otoczenie
U tego punktu takie, »e przekrój ∂Ω ∩ U jest wykresem xi = ψ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ),
gdzie funkcja ψ jest klasy C 2 .
611
v
gdzie funkcja
speªnia, dla ustalonego
ξ ∈ Ω,
równanie
∆x v = 0
na
Ω.
Zachodzi wzór
u(ξ) = −
∂G(x; ξ)
∂u
− u(x)
dSx .
G(x; ξ)
∂nx
∂nx
Z ∂Ω
G(x; ξ) = 0 dla x ∈ ∂Ω, ξ ∈ Ω. Funkcj¦ G o takich
wªasno±ciach nazywamy funkcj¡ Greena dla operatora Laplace'a i obszaru Ω.
Gdyby udaªo nam si¦ znale¹¢ funkcj¦ Greena G(x; ξ) dla obszaru Ω, wów-
Chcieliby±my ponadto, by
czas rozwi¡zanie zagadnienia (6.8) wyra»aªoby si¦ wzorem
u(ξ) =
Z
f (x)
∂Ω
∂G(x; ξ)
dSx ,
∂nx
ξ ∈ Ω.
Szukanie funkcji Greena jest rzecz¡, w zasadzie, bardzo trudn¡: chodzi o
znalezienie caªej rodziny (parametryzowanej punktem
ξ)
rozwi¡za« zagad-
nienia Dirichleta. Poni»ej znajdziemy funkcj¦ Greena dla kuli.
Niech
Ω = B(0; a),
gdzie
a > 0.
Ustalmy
ξ ∗ :=
ξ ∈ B(0; a) \ {0},
i oznaczmy
a2
ξ.
kξk2
Zachodzi
kx − ξ ∗ k
a
=
= const
kx − ξk
kξk
Przypomnijmy, »e (dla
K(x, ξ) =
Dla
dla wszystkich
x ∈ S(0; a).
n > 2)
1
kx − ξk2−n ,
(2 − n)ωn
K(x, ξ ∗ ) =
x ∈ ∂Ω:
a
kξk
∗
K(x, ξ ) =
1
kx − ξ ∗ k2−n .
(2 − n)ωn
!2−n
K(x, ξ).
Funkcja
a
G(x, ξ) := K(x, ξ) −
kξk
!n−2
jest zatem funkcj¡ Greena dla kuli
K(x, ξ ∗ ),
B(0; a).
x ∈ S(0; a), ξ ∈ B(0; a)
612
Dla funkcji
sona :
u
harmonicznej na
Z
u(ξ) =
(6.9)
B(0; a)
otrzymujemy
wzór caªkowy Pois-
H(x; ξ)u(x) dSx ,
kxk=a
gdzie
1 a2 − kξk2
aωn kx − ξkn
H(x; ξ) =
jest
j¡drem Poissona .
Taki sam wzór otrzymuje si¦ dla
n = 2.
Twierdzenie 6.3. Zaªó»my, »e f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na sferze S(0; a). Wówczas funkcja



f (ξ)



dla kξk = a,
u(ξ) =  a2 − kξk2 Z



aωn

kxk=a
f (x)
dSx
kx − ξkn
dla kξk < a,
jest
(1)
ci¡gªa na B̄(0; a),
(2)
klasy C ∞ na B(0; a),
(3)
harmoniczna na B(0; a).
Dowód.
(2), jak równie» ci¡gªo±¢ funkcji
u
na
B(0; a)
wynikaj¡ z odpowied-
nich wªasno±ci j¡dra Poissona, jak równie» z tego, »e mo»na ró»niczkowa¢
pod znakiem caªki.
(3) wynika z tego, »e
∆ξ H = 0
dla
ξ ∈ B(0; a), x ∈ B(0; a),
co mo»na
sprawdzi¢ bezpo±rednio.
Zauwa»my, »e stosuj¡c wzór caªkowy Poissona do funkcji harmonicznej
stale równej 1 otrzymujemy
Z
H(x; ξ) dS = 1.
kxk=a
We¹my
ζ, ξ ,
z
kζk = a, kξk < a.
u(ξ) − f (ζ) =
Rozbijamy
Z
kxk=a
H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS
613
na dwie caªki
Z
I1 =
H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS,
Z
I2 =
kxk=a
kx−ζk<δ
H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS.
kxk=a
kx−ζkδ
ε > 0 bierzemy δ = δ(ε) > 0 takie, »e je±li kx − ζk < δ , kxk = a, to
|f (x) − f (ζ)| < δ . Wówczas |I1 | < ε (zauwa»my, »e H(x; ξ) > 0).
Niech M := max |f |. Zauwa»my, »e w wyra»eniu na j¡dro Poissona mia-
Dla
S(0;a)
nownik jest oddzielony od zera dla
(dodatni) d¡»y do zera przy
ξ
x
takich, »e
d¡»¡cym do
ζ.
kx − ζk δ ,
za± licznik
0
Mo»emy zatem znale¹¢
δ >0
takie, »e
H(x; ξ) <
0
(δ zale»y od
ε
,
2M ωn an−1
ε i δ(ε)).
o ile
Zatem
|I2 | < ωn an−1
Wykazali±my wi¦c, »e
kξ − ζk < δ 0 , kx − ζk δ
u
ε
2M = ε.
2M ωn an−1
jest ci¡gªa w punkcie
ζ.
Sformuªujemy teraz par¦ wniosków ze wzoru caªkowego Poissona.
Po pierwsze, wzór caªkowy Poissona mo»na wykorzysta¢ przy dowodzeniu
nast¦puj¡cego faktu:
Twierdzenie 6.4. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u, ci¡gªa na
Ω, ma t¦ wªasno±¢, »e dla dowolnego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω
zachodzi
Z
u(ξ) =
1
ωn %n−1
u(x) dSx ,
S(ξ;%)
to jest harmoniczna na Ω.
Zaªó»my teraz, dla prostoty rachunków, »e
ξ = 0. Ró»niczkuj¡c wzór (6.9)
pod znakiem caªki otrzymujemy
Z
n
uξj (0) =
ωn an+1
xj u(x) dS.
kxk=a
Otrzymujemy zatem, w ogólnym przypadku, gdy u jest harmoniczna na obn
szarze Ω ⊂ R , a ξ ∈ Ω i % > 0 s¡ takie, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω, »e
(6.10)
Wnioskiem jest
|uξj (ξ)| ¬
n
max |u|.
% S(ξ;%)
twierdzenie Liouville'a :
614
Twierdzenie 6.5. Je±li u jest harmoniczna i ograniczona na caªym Rn , to
jest staªa.
Wzór (6.10) uogólnia si¦ na przypadek pochodnych wy»szych rz¦dów.
u jest harmoniczna na obszarze Ω ⊂ Rn , a ξ ∈ Ω i
Mówi¡c konkretnie, gdy
%>0
s¡ takie, »e
B̄(ξ; %) ⊂ Ω,
∂ j1 +...+jn u
j1
(ξ)
∂ξ . . . ∂ξnjn
1
wówczas zachodzi
ne
¬ (j1 + . . . + jn )!
%
!j1 +...+jn
max |u|.
S(ξ;%)
Z powy»szego oszacowania wynika, »e szereg Taylora (n zmiennych) funkcji
u
w punkcie
ξ
jest jednostajnie zbie»ny na pewnym otoczeniu
U
punktu
ξ
do tej funkcji.
Zaªó»my, »e funkcja
u
ξ ∈ Ω, odlegªo±¢ tego punktu
B̄(ξ; a) ⊂ Ω, gdzie a < d(ξ). Zatem
i oznaczmy, dla
Wówczas
|uξi (ξ)| ¬
i przechodz¡c z
a
do
d(ξ)
Ω,
d(ξ).
jest harmoniczna na ograniczonym obszarze
od brzegu
∂Ω
przez
n
max |u|,
a kx−ξk=a
otrzymujemy
|uξi (ξ)| ¬
n
sup|u|.
d(ξ) Ω
Zaªó»my teraz, »e mamy rodzin¦ funkcji harmonicznych na obszarze ograni-
Ω, wspólnie ograniczonych. Ustalmy zbiór zwarty K ⊂ Ω. Odlegªo±ci
punktów zbioru K od brzegu ∂Ω s¡ ograniczone z doªu przez liczb¦ dodatni¡.
Otrzymujemy zatem, »e pochodne funkcji z rodziny na zbiorze K s¡ wspólnie
czonym
ograniczone. Wykorzystuj¡c metod¦ przek¡tniow¡ wyboru mo»na udowodni¢
nast¦puj¡ce
Twierdzenie 6.6. Z rodziny funkcji harmonicznych na obszarze ograniczonym Ω, wspólnie ograniczonej, mo»na wybra¢ podci¡g zbie»ny na ka»dym
zwartym podzbiorze Ω do funkcji harmonicznej.
Jeszcze jednym wnioskiem ze wzoru caªkowego Poissona jest jedna z wersji
nierówno±ci Harnacka(6) :
Twierdzenie 6.7. Zaªó»my, »e funkcja nieujemna u jest ci¡gªa na B̄(0; a) i
harmoniczna na B(0; a). Wówczas
an−2 (a − kξk)
an−2 (a + kξk)
u(0)
¬
u(ξ)
¬
u(0) ∀ ξ ∈ B(0; a).
(a + kξk)n−1
(a − kξk)n−1
(6)
(Carl Gustav) Axel Harnack (18511888), matematyk niemiecki.
615
6.6
Funkcje subharmoniczne i superharmoniczne
Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Mówimy, »e funkcja ci¡gªa u jest subharmoniczna na Ω, je±li dla ka»dego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e B̄(ξ; %) ⊂ Ω
Niech
zachodzi
Z
1
u(ξ) ¬
ωn %n−1
u(x) dSx .
S(ξ;%)
Analizuj¡c dowód twierdzenia 6.1 widzimy, »e jest to w praktyce dowód nast¦puj¡cego wyniku:
Twierdzenie 6.8 (Mocna zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych).
Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym. Zaªó»my, »e funkcja ci¡gªa
u : Ω̄ → R jest subharmoniczna na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡
warto±¢ na Ω̄ w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa.
u jest superharmoniczna
B̄(ξ; %) ⊂ Ω zachodzi
Analogicznie, funkcja ci¡gªa
dego
ξ∈Ωi%>0
takiego, »e
u(ξ)
Z
1
ωn %n−1
na
Ω,
je±li dla ka»-
u(x) dSx .
S(ξ;%)
6.7
Uwagi o istnieniu rozwi¡za«
Gdy potramy znale¹¢ funkcj¦ Greena dla obszaru
Ω, mamy wzór na rozwi¡-
zanie zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a na tym obszarze. Jednak»e, jak sie mo»na domy±la¢, dla niewielu obszarów mo»na poda¢ funkcj¦
Greena w postaci zamkni¦tej.
6.7.1
Niech
Metoda Perrona(7)
Ω ⊂ Rn
f : ∂Ω → R
b¦dzie obszarem ograniczonym, i niech
b¦dzie
funkcj¡ ci¡gª¡. Szukamy rozwi¡zania zagadnienia brzegowego Dirichleta
(6.11)

∆u
na
u
na
=0
=f
Ω
∂Ω.
Przez rozwi¡zanie rozumiemy tutaj funkcj¦ ci¡gª¡ na
której obci¦cie do
∂Ω
jest równe
Rozpatrzmy rodzin¦
subharmoniczne na
Ω,
V
harmoniczn¡ na
Ω,
f.
wszystkich funkcji ci¡gªych
oraz speªniaj¡
v(x) ¬ f (x) ∀ x ∈ ∂Ω.
(7)
Ω̄,
Oskar Perron (18801975), matematyk niemiecki.
v : Ω̄ → R,
które s¡
616
Rodzina
V
jest niepusta (gdy» funkcja staªa równa
min∂Ω f
nale»y do niej). Z
zasady maksimum dla funkcji subharmonicznych wynika, »e funkcje z rodziny
V
max∂Ω f .
% > 0 takie, »e B̄(ξ 0 ; %) ⊂ Ω.
s¡ wspólnie ograniczone z góry przez
Niech
v ∈ V.
Ustalmy
ξ0 ∈ Ω
i
Wówczas
funkcja


v(ξ)


 Z




ṽ(ξ) =
H(x − ξ 0 ; ξ − ξ 0 )v(x) dSx
dla
ξ ∈ Ω \ B(ξ 0 ; %)
dla
ξ ∈ B(ξ 0 ; %)
S(ξ 0 ;%)
V
te» nale»y do
(dowód tego faktu jest do±¢ »mudny).
Nast¦pnie dowodzi si¦, »e supremum wszystkich funkcji z rodziny
V
jest
funkcj¡ harmoniczn¡ (jest to najtrudniejsza cz¦±¢ dowodu, wymagaj¡ca odwoªania sie do twierdzenia 6.6). Tak otrzyman¡ funkcj¦ harmoniczn¡
R
nazywamy
rozwi¡zaniem Perrona
u: Ω →
zagadnienia (6.11).
Teraz trzeba jeszcze wykaza¢, »e otrzymana powy»ej funkcja harmoniczna
przedªu»a si¦ w sposób ci¡gªy na brzeg
∂Ω.
Ω =
f na brzegu ∂Ω w ten sposób, »eby f (0) byªo stale
równe zeru na sferze S(0; a), i równe jeden w 0. Wówczas mo»na dowie±¢, »e
rozwi¡zanie Perrona takiego zagadnienia jest stale równe zeru na Ω, zatem
warunek brzegowy na {0} ⊂ ∂Ω nie mo»e by¢ speªniony.
W istocie, zagadnienie (6.11) nie zawsze ma rozwi¡zanie. We¹my
B(0; a) \ {0},
i zadajmy
Q : Ω̄ → R jest barier¡ wzgl¦dem punktu
x ∈ ∂Ω, gdy Q jest subharmoniczna na Ω, Q(x) = 0 oraz Q < 0 na Ω̄\{x}(8) .
Punkt x ∈ ∂Ω nazywamy regularnym , gdy istnieje bariera wzgl¦dem x.
Dowodzi si¦, »e je±li x ∈ ∂Ω jest punktem regularnym, to dla rozwi¡zania
Perrona u zachodzi: u(ξ) → f (x) gdy Ω 3 ξ → x. W istocie, mo»na udowodni¢ nawet wi¦cej: gdy zaªo»ymy tylko, »e f jest funkcj¡ ograniczon¡ na ∂Ω,
to gdy punkt regularny x ∈ ∂Ω jest punktem ci¡gªo±ci funkcji f , wówczas dla
rozwi¡zania Perrona u zachodzi: u(ξ) → f (x) gdy Ω 3 ξ → x (twierdzenie
Mówimy, »e funkcja ci¡gªa
Wienera ).
W szczególno±ci, wynika st¡d, »e dla obszaru ograniczonego
Ω nast¦puj¡ce
warunki s¡ równowa»ne:

dla ka»dej funkcji ci¡gªej
f
na
∂Ω zagadnienie brzegowe (6.11) ma roz-
wi¡zanie;

(8)
wszystkie punkty brzegu
∂Ω
sa regularne.
Niekiedy barier¦ deniuje si¦ jako funkcj¦ superharmoniczn¡ Q na Ω, Q(x) = 0 oraz
Q > 0 na Ω̄ \ {x}
617
Podamy teraz par¦ warunków dostatecznych.

Dla
n = 2,
punkt
x ∈ ∂Ω
jest regularny, je±li mo»na do« doj±¢ z zewn¦trza
C 1 bez samoprzeci¦¢;
obszaru po krzywej klasy
Ω w R2 zawieci¡gªej f na ∂Ω
je±li ka»da skªadowa spójno±ci dopeªnienia obszaru
ra wi¦cej ni» jeden punkt, to dla ka»dej funkcji
zagadnienie brzegowe (6.11) ma rozwi¡zanie.

Dla dowolnego
n,
warunkiem gwarantuj¡cym rozwi¡zalno±¢ zagadnie-
f : ∂Ω → R jest zewn¦trzny warunek sfery :
x ∈ ∂Ω istniej¡ y ∈ Rn i R > 0 takie, »e B̄(y; R)∩ Ω̄ = {x}.
nia (6.11) dla ka»dej ci¡gªej
dla ka»dego
6.7.2
Niech
Metody analizy funkcjonalnej
Ω ⊂ Rn
b¦dzie obszarem ograniczonym. Szukamy rozwi¡zania zagad-
nienia brzegowego Dirichleta

∆u
=g
u = 0
(6.12)
Oznaczmy przez
tym w
C02 (Ω)
na
na
Ω
∂Ω.
zbiór funkcji klasy
C2
o zwartym no±niku zawar-
Ω.
Dla funkcji
v ∈ C02 (Ω) i u
Z
ci¡gªej na
v∆u dx = −
Ω
Z
Ω̄
i klasy
C2
na
Ω
zachodzi
h∇v, ∇ui dx,
Ω
h·, ·i oznacza standardowy
2
Dla u, v ∈ C0 (Ω) oznaczmy
gdzie
iloczyn skalarny w
(u, v) :=
Z
Rn
(por. (I-TG)).
h∇v, ∇ui dx.
Ω
(·, ·) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej C02 (Ω).
1
2
Oznaczmy przez H0 (Ω) uzupeªnienie przestrzeni liniowej C0 (Ω) wzgl¦dem
iloczynu skalarnego (·, ·). Norm¦ odpowiadaj¡c¡ iloczynowi skalarnemu (·, ·)
Tak zdeniowany
nazywamy
norm¡ Dirichleta .
Lemat 6.9 (Nierówno±¢
szaru Ω) taka, »e
Z
Ω
Poincarégo)
u2 dx ¬ N
Z
Ω
. Istnieje staªa N > 0 (zale»na od ob-
k∇uk2 dx ∀ u ∈ C02 (Ω).
618
Dowód.
Niech
zerem na caªy
a > 0 b¦dzie
[−a, a]n .
Ω ⊂ [−a, a]n .
takie, »e
Przedªu»amy funkcj¦
Z nierówno±ci Schwarza wynika, »e dla dowolnego
[−a, a]n zachodzi
2
u (x) =
Zx1
!2
ux1 (ξ1 , x2 , . . . , xn ) dξ1
¬ (x1 + a)
−a
u
x = (x1 , . . . , xn ) ∈
Zx1
(ux1 (ξ1 , x2 , . . . , xn ))2 dξ1 ,
−a
co jest ograniczone z góry, jednostajnie wzgl¦dem
2a
Za
x,
przez
(ux1 (ξ1 , . . . , ξn ))2 dξ1 .
−a
Zatem
Za
2
u dx1 ¬ 4a
2
−a
Za
(ux1 )2 dx1 ,
−a
co daje, po scaªkowaniu wzgl¦dem pozostaªych
Z
[−a,a]n
u2 dx ¬ 4a2
Z
n−1
(ux1 )2 dx ¬ 4a2
[−a,a]n
zmiennych,
Z
k∇uk2 dx.
[−a,a]n
(uj )∞
j=1 b¦dzie ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem normy Dirichleta,
uj ∈ C02 (Ω̄). Przypomnijmy, »e elementy przestrzeni H01 (Ω) to klasy
Niech
gdzie
równowa»no±ci ci¡gów Cauchy'ego.
∞
Z nierówno±ci Poincarégo wynika, »e, po pierwsze, ci¡g (uj )j=1 jest te»
2
ci¡giem Cauchy'ego w przestrzeni L (Ω), po drugie, je±li dwa takie ci¡gi
1
Cauchy'ego s¡ równowa»ne wzgl¦dem normy w H0 (Ω), to s¡ te» równowa»ne
2
wzgl¦dem normy w L (Ω)
1
Zatem ka»dy element przestrzeni H0 (Ω) mo»emy uto»sami¢ (i to jedno2
znacznie) z pewnym elementem przestrzeni L (Ω). Zapisujemy to jako
H01 (Ω) ,→ L2 (Ω),
H01 (Ω) zanurza si¦ w sposób ci¡gªy w L2 (Ω). Zauwa»my, »e
1
2
istotnie jest to ograniczone odwzorowanie liniowe z H0 (Ω) w L (Ω), o normie
nie wi¦kszej ni» 2a.
i mówimy, »e
Powró¢my teraz do wyj±ciowego zagadnienia (6.12). Rozwi¡zanie tego
u ∈ H01 (Ω) takim, »e dla ka»dego v ∈
zagadnienia b¦dziemy uto»samiali z
H01 (Ω) zachodzi
(u, v) = −
Z
Ω
gv dx.
619
Wyra»enie
v 7→ −
Z
gv dx
Ω
deniuje ograniczony funkcjonaª liniowy na przestrzeni Hilberta
H01 (Ω). Istot-
nie, szacujemy
Z
−
Ω
gv dx
¬ kgkL2 (Ω) kvkL2 (Ω) ¬ 2akgkL2 (Ω) kvkH01 (Ω) .
Na podstawie twierdzenia RieszaFrécheta, istnieje
(u, v) = −
Z
u ∈ H01 (Ω)
takie, »e
gv dx ∀ v ∈ H01 (Ω).
Ω
Otrzymane powy»ej
u mo»na interpretowa¢ jako rozwi¡zanie sªabe zagad-
nienia (6.12).
Gdy
∆u = g
g
jest funkcj¡ ci¡gª¡ na
na
Ω̄,
dowodzi si¦, »e
u
jest klasy
C2
na
Ω,
i »e
Ω.
Gdy ponadto brzeg
w sposób ci¡gªy zerem
∂Ω jest klasy C 2 , dowodzi si¦, »e u mo»na przedªu»y¢
na ∂Ω (dowody tych faktów s¡ do±¢ skomplikowane).