Streszczenie Tematem pracy jest utrzymywanie skojarze´n online w
Transkrypt
Streszczenie Tematem pracy jest utrzymywanie skojarze´n online w
Streszczenie Tematem pracy jest utrzymywanie skojarzeń online w grafach dwudzielnych za pomoca˛ ścieżek powiekszaj ˛ acych. ˛ W rozważanym problemie algorytm otrzymuje na wejściu graf dwudzielny G = �U � V, E�, w ten sposób, że zbiór wierzchołków U jest znany od poczatku ˛ działania algorytmu, podczas gdy wierzchołki z V sa˛ odkrywane pojedynczo, każdy ze wszystkimi incydentnymi do niego kraw˛edziami. Celem jest utrzymywanie najliczniejszego skojarzenia w ujawnionym grafie. Decyzje algorytmu nie sa˛ nieodwołalne, niemniej jednak, na ile to możliwe, da˛ży sie˛ do zminimalizowania ilości zmian. W pracy tej analizowane sa˛ dwie zachłanne strategie, obydwie oparte o klasyczna˛ technike˛ ścieżek powiekszaj ˛ acych. ˛ Pierwsze podejście opiera sie˛ na algorytmie, który w każdej turze aktualizuje bieżace ˛ skojarzenie używajac ˛ najkrótszej z dostepnych ˛ ścieżek powiekszaj ˛ acych. ˛ Według hipotezy, suma długości wszystkich takich ście� � żek jest ograniczona przez O n log n . Tymczasem, nawet dla drzew nie � � znamy żadnego ograniczenia lepszego niż O n2 . Niniejsza praca przedstawia dowód, że jeżeli graf G jest drzewem, to całkowita ich długość nie � � przekracza O n log2 n . Dla przypadku ogólnych grafów dwudzielnych rozważana jest strategia, która zlicza ile razy każdy wierzchołek był używany przez dotychczasowe ścieżki powiekszaj ˛ ace ˛ i stara sie˛ zachłannie zminimalizować maksimum. Zaproponowane podejście owocuje nowym algorytmem, w którym każdy wierzchołek z U jest użyty przez ścieżki powiekszaj ˛ ace ˛ co najwy� 1/2 � razy, a całkowita suma długości tych ścieżek jest ograniczona żej O n � 3/2 � przez O n . Ponadto, w pracy zaprezentowany jest efektywny sposób ich obliczania, który pozwala na uzyskanie procedury utrzymujacej ˛ naj� � 1/2 liczniejsze skojarzenie w całkowitym czasie O m · n oraz algorytmu � � (1 − ε)-aproksymacyjnego działajacego ˛ w czasie O m · ε−1 . Wyniki te zostaja˛ rozszerzone do przypadku dekrementalnego i algorytmu pseudowielomianowego dla grafów ważonych. Na koniec podane sa˛ przykłady, które pokazuja, ˛ że zastosowana analiza czasowa jest ścisła. Słowa kluczowe: skojarzenia online, skojarzenia dwudzielne, skojarzenia aprok˛ dynamiczne algorytmy grafowe. symowane, najkrótsze ścieżki powi˛ekszajace, Klasyfikacja AMS: 05C70, 05C85, 68Q25, 68W25, 68W27, 68W40. ii