W lasno´sci funkcji wyk ladniczej zmiennej zespolonej

Tekst 10-4
WÃlasności funkcji wykÃladniczej
zmiennej zespolonej
Definicja:
ez :=
∞
X
zn
n=0
n!
z∈C
WÃlasności:
1. ez+w = ez · ew dla każdego z, w ∈ C;
2. e0 = 1;
3. ez 6= 0 dla każdego z ∈ C;
4. ez jest funkcja̧ 2πi okresowa̧, tzn.
ez = ez+2kπi dla każdego k ∈ Z;
5. e2πi = 1;
1
Definicja funkcji trygonometrycznych zmiennej zespolonej:
∞
X
∞
X
2n+1
n z
sin z :=
(−1)
(2n + 1)!
n=0
z 2n
cos z :=
(−1)
.
(2n)!
n=0
n
Zwia̧zek funkcji wykÃladniczej z funkcjami trygonometrycznymi:
1. Wzory Eulera:
eiz + e−iz
cos z =
2
eiz − e−iz
sin z =
;
2i
2. eiz = cos z + i sin z;
3. ea+ib = ea · (cos b + i sin b) dla każdego a, b ∈ R;
4. wszystkie zwykÃle wzory trygonometryczne sa̧ prawdziwe
także dla zmiennej zespolonej;
5. każda̧ liczbȩ zespolona̧ można przedstawić w postaci
wykÃladniczej:
z = |z|ei arg z .
2