GRAWITACJA 1. Trzy równe masy m znajduja sie w trzech rogach

GRAWITACJA
1. Trzy równe masy m znajduja̧ siȩ w trzech rogach kwadratu o dlugości boku l. Znajdź wektor
natȩżenia pola grawitacyjnego G(r) i potencjal tego pola w czwartym rogu kwadratu.
2. Jednorodny prȩt ma ksztalt pólokrȩgu o promieniu R (Rys. 1). Policzyć silȩ grawitacji
wywierana̧ na masȩ m umieszczona̧ w środku pólokrȩgu. Znaleźć energiȩ potencjalna̧ ukladu.
3. Znaleźć potencjal i natȩżenie pola grawitacyjnego w punkcie odleglym o r od środka jednorodnej powloki sferycznej (grubość jest zaniedbywalna w porównaniu z promieniem) o masie
M i promieniu R. Przedyskutować otrzymane rozwia̧zania w zależności od wartości odleglości
r. Nie korzystać z prawa Gaussa.
4. Znaleźć potencjal i natȩżenie pola grawitacyjnego w punkcie odleglym o r od środka jednorodnej kuli o masie M i promieniu R. Przedyskutować otrzymane rozwia̧zania w zależności
od wartości odleglości r.
5. We wnȩtrzu jednorodnej kuli o masie M i promieniu R wydra̧żono kulisty otwór o promieniu r (Rys. 2). Znaleźć silȩ wywierana̧ przez taka̧ masȩ na masȩ punktowa̧ znajduja̧ca̧ siȩ w
odleglości x od środka kuli. Rozważyć przypadki: a) x ≥ R,
b) R > x ≥ r,
c) x ≤ r.
6. Na przedlużeniu jednorodnego prȩta o masie M i dlugości l znajduje siȩ w odleglości h masa
punktowa m. Znajdź energiȩ potencjalna̧ tego ukladu. Policz silȩ wywierana̧ przez prȩt na
masȩ. Rozwia̧ż to samo zadanie dla masy punktowej znajduja̧cej siȩ na symetralnej prȩta.
7. Jak blisko siebie powinny znaleźć siȩ dwie gwiazdy o tych samych gȩstościach masy, aby
wiȩksza z nich wessala mniejsza̧? Przyja̧ć, że gwiazdy sa̧ kulami o promieniach R i r.
8. Przez kulȩ ziemska̧ wzdluż jej średnicy poprowadzono tunel. Nie zostal on należycie zabezpieczony i wpadl do niego koziol. Napisać równanie ruchu kozla w tunelu, policzyć okres drgań
i znaleźć jego prȩdkość w geometrycznym środku Ziemi.
9. Policzyć prȩdkość satelity Ziemi poruszaja̧cego siȩ po orbicie o promieniu minimalnie
wiȩkszym od promienia Ziemi, czyli tuż nad jej powierzchnia̧ (I prȩdkość kosmiczna). Porównać
ja̧ z prȩdkościa̧ kozla w centrum Ziemi. Wyjaśnić jaki jest zwia̧zek miȩdzy ruchem kozla i ruchem
satelity.
10. Rozwia̧zać zad. 8 z tunelem bȩda̧cym ciȩciwa̧ Ziemi poprowadzona̧ w odleglości h od centrum Ziemi.
11. Do tunelu z zad. 8 wrzucono cialo z prȩdkościa̧ pocza̧tkowa̧ v0 . Znaleźć czas lotu ciala do
środka Ziemi.
12. Czarna̧ dziura̧ nazywamy obiekt, w którym sily grawitacji sa̧ tak duże, że nie może go
opuścić żadna cza̧stka nawet foton. Oszacuj promień jaki powinna mieć gwiazda o masie M ,
aby stala siȩ czarna̧ dziura̧. Policz ten promień dla Slońca o masie M = 2 × 10 3 0 kg, wiedza̧c
że G = 6.67 × 10−11 N m2 /kg 2 i c = 3 × 108 m/s.
13. Znaleźć wartość ciśnienia grawitacyjnego we wnȩtrzu Ziemi zakladaja̧c, że Ziemia jest jednorodna̧ kula̧ o gȩstości % i promieniu R.
14. Znaleźć wartość ciśnienia grawitacyjnego w odleglości r0 od środka Ziemi zakladaja̧c, że
gȩstość masy jest liniowa̧ funkcja̧ odleglości od środka Ziemi r: % = % 2 −%1 Rr , R jest promieniem
Ziemi, %2 > %1 .
15. W czterech rogach kwadratu o dlugości boku l znajduja̧ siȩ masy m1 , m2 , m3 i m4 . Znajdź
grawitacyjna̧ energiȩ potencjalna̧ tego ukladu.
16. Znaleźć grawitacyjna̧ energiȩ potencjalna̧ jednorodnej powloki sferycznej o promieniu R i
masie M .
17. Znaleźć grawitacyjna̧ energiȩ potencjalna̧ jednorodnej kulistej planety o masie M i promie1
niu R.
18. Znaleźć pracȩ, jaka̧ trzeba wykonać, aby cialo o masie m przenieść z: a) powierzchni, b)
środka jednorodnej kulistej planety o masie M i promieniu R do nieskończoności.
19. Najwiȩksza odleglość komety Halleya od Slońca to h = 35.4RZS , gdzie RZS jest odleglościa̧
Ziemi od Slońca, a najmniejsza l = 0.59RZS . Prȩdkość liniowa ruchu komety w punkcie najbardziej odleglym od Slońca, tzw. punkcie odslonecznym, wynosi 910m/s. Jaka jest prȩdkość
komety, gdy jest ona najbliżej Slońca, czyli w punkcie przyslonecznym?
20. Asteroida Apophis (egipski demon Niszczyciel) - waża̧ca 79 mln ton skala o średnicy 400
metrów - znajdzie siȩ w kwietniu 2029 roku w bezpośrednim sa̧siedztwie Ziemi (Mz = 6 · 1024
kg). Przyjmijmy, że w odleglości ra = 10Rz (Rz = 6.4 · 106 m jest promieniem Ziemi) asteroida
porusza siȩ z prȩdkościa̧ va = 10 km/s radialnie w kierunku centrum Ziemi. Z jaka̧ prȩdkościa̧
należy wystrzelić z powierzchni Ziemi pocisk o masie 1 tony, tak aby po jego wbiciu siȩ w
asteroidȩ stala siȩ ona satelita̧ Ziemi kra̧ża̧cym po orbicie o promieniu ra ?
2