Konspekt do L1 - Katedra Inżynierii Stopów i Kompozytów

Akademia Górniczo-Hutnicza
Wydział Odlewnictwa
Katedra Inżynierii Stopów i Kompozytów
Odlewanych
KRYSTALOGRAFIA
Studia pierwszego stopnia, stacjonarne
II rok
Nr ćwiczenia:
1
Opracowała
dr inż. Ewa Olejnik, mgr inż. Łukasz Szymański,
Temat:
Rzut stereograficzny
Cel ćwiczenia:
Wykonanie rzutu stereograficznego na podstawie modelu 3D wytypowanego
kryształu
Zakres
wymaganego
materiału
1.
2.
3.
4.
5.
Sieć przestrzenna i jej składowe
Układy krystalograficzne
Projekcja sferyczna
Siatka Wulfa
Rzut stereograficzny
Przebieg ćwiczenia
Materiały i
urządzenia
wykorzystywan
e w ćwiczeniach
1.
2.
3.
4.
Model 3D kryształu
Siatka Wulfa
Kalka techniczne
Przyrządy kreślarskie
Przebieg
ćwiczeń
1. Wykonanie rzutów Monge`a
2. Wykonanie rzutu na dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe rzutu
stereograficznego
3. Wyznaczenie na płaszczyźnie rzutu stereograficznego biegunów ścian
z uwzględnieniem pozycji ścian kryształu 3D (góra, dół)
4. Określenie współrzędnych biegunowych
5. Otrzymane wyniki umieścić w sprawozdaniu.
Przykładowe
pytania
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sieć przestrzenna
Opisać układy krystalograficzne
Projekcja sferyczna
Wykorzystanie siatki Wulfa w rzucie stereograficznym
Rzut stereograficzny: cechy oraz etapy
Wykonanie rzutu stereograficznego kryształu w postaci 3D
Sprawozdanie
Sprawozdanie z przeprowadzonych badań powinno zawierać:
1. Wstęp teoretyczny – omówienie podstawowych pojęć związanych z
tematem (wymagane pojęcia zostaną podane przez prowadzącego
zajęcia);
2. Część praktyczna
3. Cel
4. Wykonanie rzutu stereograficznego modelu kryształu 3D
Zaliczenie
dwustopniowe: odpowiedź lub test, sprawozdanie.
Czas trwania
2 godziny
Literatura:
1. Bojarski Z., Gigla M., Stróż K., Surowiec M.: Krystalografia. Podręcznik
wspomagany komputerowo. PWN. Warszawa 2001.
2. Kosturkiewicz Z.: Metody krystalografii. Wyd. Naukowe UAM. Poznań
2004.
3. Bojarski Z., Gigla M., Stróż K., Surowiec M.: Krystalografia. PWN.
Warszawa 2007.
4. Penkala T.: Zarys krystalografii, PWN. Warszawa 1972.
5. Chojnacki J.: Metalografia strukturalna. Wydawnictwo Śląsk 1966
6. Bojarski Z., Habl H., Surowiec M. Materiały do nauki krystalografii,
PWN 1986
1. WSTĘP TEORETYCZNY
Krystalografia – termin pochodzi od greckich słów krystallos „lód” oraz grapho „piszę”, jest
to dziedzina nauki zajmująca się opisem, klasyfikacją oraz badaniem ciał stałych o strukturze
uporządkowanej
Stany skupienia materii
Siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy atomami oraz cząsteczkami mają znaczący wpływ
na ich „porządkowanie się” w strukturze przestrzennej. W zależności od sił wzajemnego
przyciągania możemy obserwować różne stopnie uporządkowania atomów (cząsteczek),
które umownie określane są stanami skupienia.
Wszystkie pierwiastki chemiczne oraz powstające z nich związki chemiczne mogą
występować w przyrodzie w trzech fazach: gazowej, ciekłej oraz stałej. Związki w fazie stałej
mogą występować w postaci : szklistej, amorficznej oraz krystalicznej.
Rysunek 1 Klasyfikacja stanów skupienia materii
Ciała amorficzne charakteryzują się właściwościami zbliżonymi do ciał krystalicznych, jednak
nie występuje w nich uporządkowanie dalekiego zasięgu. Tworzą je cząsteczki/ atomy
ułożone w sposób chaotyczny bardziej przypominający uporządkowanie w cieczach.
Ciała krystaliczne wyróżniają się spośród pozostałych ze względu na ich uporządkowaną
budowę, polegającą na periodycznym (regularnie co jakiś odstęp) powtarzaniu się w
przestrzeni elementów fizycznych , tj. atomów, jonów oraz cząstek. Charakterystyczny dla
każdego ciała krystalicznego rytm powtarzania się w przestrzeni elementów fizycznych może
być zakodowany w postaci sieci przestrzennej, złożonej z periodycznie powtarzających się w
przestrzeni punktów, zwanych węzłami.
Sieć krystaliczna i sieć przestrzenna
W celu wyjaśnienia podstawowych zagadnień związanych z budową ciał krystalicznych
wykorzystano chlorek sodu (NaCl) znany wszystkim, jako sól kuchenna.
Na rysunku 1 z prawej strony przedstawiono schemat sieci krystalicznej, zaś z lewej sieć
przestrzenną NaCl. Powtarzającymi się elementami w sieci przestrzennej są jony chlory,
które są styczne z jonami sodu. Powtórzenie takiego układu w „rytmie” sieci przestrzennej
pozwala na odtworzenie sieci krystalicznej. Odległość węzłów sieci przestrzennej nosi nazwę
okresu identyczności lub okresy translacyjnego. Należy jednak zauważyć, że sieć
przestrzenna to twór geometryczny, w którym oprócz węzłów wyróżnić możemy jeszcze
proste oraz płaszczyzny sieciowe.
Rysunek 2 Schemat budowy krystalicznej chlorku sodu oraz odpowiadającej jej sieci
przestrzennej
Znajomość sieci przestrzennej pozwala na wybranie równoległościaniu elementarnego,
zwanego komórką elementarną sieci przestrzennej, którą można określić mianem
reprezentanta sieci. Komórka elementarna sieci z podanymi w niej położeniami atomów czy
jonów nosi nazwę krystalicznej komórki elementarnej. Poprzez jej translację w przestrzeni
otrzymujemy sieć krystaliczną.
Każde ciało krystaliczne posiada autonomiczną, krystaliczną komórkę elementarną (o swoim
kształcie, wielkości – rzędu angstremów – rozmieszczeniu i rodzaju elementów fizycznych).
Jednak komórka elementarna sieci przestrzennej danego ciała (jedna z 14 , o czym będzie
mowa w dalszej części konspektu) może być identyczna z typem komórek elementarnych
wielu innych ciał.
ELEMENTY SIECI PRZESTRZENNEJ
Rysunek 3 Elementy sieci przestrzennej - ilustracje
Prosta sieciowa – prosta łącząca środki dwóch dowolnych atomów
Parametr sieci – najbliższa odległość dwóch atomów na prostej sieciowej w komórce
prymitywnej
Płaszczyzna sieciowa – powstała przez przesunięcie prostej sieciowej o parametr sieciowy
w innym kierunku
Sieć przestrzenna - przesunięcie płaszczyzny sieciowej w kierunku do niej nierównoległym
Węzły sieci – punkty przecięcia prostych sieciowych
UKŁADY KRYSTALOGRAFICZNE
W krystalografii możemy wyróżnić 7 typów komórek elementarnych, których translacja
(przesunięcie) w sieci umożliwia utworzenie sieci przestrzennej. W zależności od kształtu
czworościanu zasadniczego i odpowiadającej mu komórki sieci przestrzennej klasyfikuje się
ciała krystaliczne do grup, zwanych układami krystalograficznymi. Wyróżnia się sześć
układów krystalograficznych, z których pięć opisuje się za pomocą trzech osi współrzędnych,
zaś ostatni z nich heksagonalny czterema.
Kształt czworościanu zasadniczego każdego kryształu opisuje się za pomocą sześciu
zasadniczych parametrów: a – krawędź komórki równoległa do kierunku X, b – krawędź
komórki równoległa do kierunku Y, c – krawędź komórki równoległa do kierunku Z oraz
kątami α – kąt między b i c, β – kąt między a i c , γ – kąt między a i b. Długości a, b, c
nazywane są periodami identyczności.
Rysunek 4 Parametry opisujące komórkę elementarną
Tabela 1 Układy krystalograficzne
Kształt sieciowej komórki elementarnej i
Lp.
Układ
1
Regularny
2
Tetragonalny
3
Rombowy
4
Jednoskośny
5
Trójskośny
6
Heksagonalny
Trygonalny (lub)
Romboedryczny
odpowiadającego jej czworościanu zasadniczego
Kąty między osiami
Jednostki
krystalograficznymi
osiowe
Trzy pierwsze układy krystalograficzne posiadają prostokątny układ osi krystalograficznych (
; różnice występują wyłącznie w długości jednostek osiowych wzdłuż
poszczególnych osi. Układ regularny charakteryzuje się równością jednostek osiowych
wzdłuż osi X, Y, Z, stąd typowa komórka elementarna w tym przypadku posiada kształt
sześcianu. W układzie tetragonalnym występuje równość jednostek osiowych wyłącznie
wzdłuż osi X i Y. Natomiast wielkość jednostkowa wzdłuż osi Z jest inna. W układzie
rombowym wielkości wszystkich trzech jednostek są różne.
Układ jednoskośny oraz trójskośny nie są układami prostokątnymi. W
układzie
jednoskośnym tylko jeden z kątów nie jest równy 90°, zaś w układzie trójskośnym
wszystkie kąty różnią się między sobą i nie są równe 90°. Następstwem czego są różne
jednostki pomiarowe wzdłuż osi X, Y, Z.
W układzie heksagonalnym trzy osie X, Y, U leżą w jednej płaszczyźnie, a ich dodatnie
zwroty tworzą z sobą kąty 120°. Czwarta oś Z jest do nich prostopadła. Jednostki osiowe na
osiach X, Y, U są sobie równe, lecz różne od jednostki na osi Z. Z układu heksagonalnego
wyodrębnia się również układ trygonalny lub romboedryczny.
Rysunek 5 Układy krystalograficzne z ich podstawowymi parametrami
Spośród wymienionych powyżej siedmiu typów sieci krystalograficznych możemy wyróżnić
14 typów sieci szczególnych określanych w literaturze mianem sieci Bravais` go.
Klasyfikowane są one ze względu na rodzaj rozmieszczenia węzłów w komórce.

sieć prymitywna (P) – atomy rozmieszczone wyłącznie w narożach komórki
elementarnej

przestrzennie centrowane (I) – atomy rozmieszczone w narożach komórki oraz jeden
atom w jej centralnej części

płasko centrowana (F) – atomy rozmieszczone w narożach komórki oraz po jednym
na bocznych jej ścianach
PROJEKCJA SFERYCZNA
Wiele trudności w obszarze krystalografii rozwiązywana jest w sposób graficzny z
zastosowaniem tzw. projekcji monokryształu, które odwzorowują kąty między płaszczyznami
i kierunkami, dając jednocześnie możność ich pomiaru.
W takich projekcjach monokryształ zastępowany jest przez zbiór płaszczyzn i prostych
równoległych
do
odpowiadających
im
płaszczyzn
i
kierunków
krystalicznych
w
monokrysztale. Należy jednak zauważyć, że przechodzą one przez jeden punkt. Zbiór taki
nazywany jest zespołem krystalicznym, a punkt przecięcia środkiem zespołu.
RZUT STEREOGRAFICZNY
Wykonanie rzutów perspektywicznych (ortogonalny, skośny, aksonometryczny) nie pozwala
na dokładne odwzorowanie długości odcinków jak również kątów występujących pomiędzy
nimi. Daje wyłącznie możliwość przedstawienia na oddzielnych rysunkach: zależności
pomiędzy długościami odcinków oraz zależności pomiędzy kątami ścian i krawędziami.
Dokładne odwzorowanie kątów możliwe jest z zastosowaniem rzutu stereograficznego. Rzut
stereograficzny przeprowadzony jest przy pomocy kątowej siatki Wulfa, która jest rzutem
stereograficznym kół (różne promienie kątowe) małych stanowiących równoleżniki oraz kół
dużych (przechodzące przez środek sfery) nachylonych do płaszczyzny równika będących
południkami. Koła pomiarowe prowadzone są co 2° co umożliwia dokonywanie pomiarów i
operacji geometrycznych z dokładnością do 1°.
Rysunek 6 Siatka Wulfa
Operacje na siatce Wolfa przeprowadza się na klace technicznej nałożonej na siatkę. Na
kalce wykreślone są prostopadłe osie oraz koło projekcji powinna zostać przytwierdzona do
siatki w taki sposób, aby środek przecięcia osi narysowanych na kalce pokrywał się ze
środkiem siatki Wulfa, a osie pokrywają się ze średnicami NS i WE siatki Wulfa. Na końcach
osi zaznaczone są wartości kątów ϕ (0°, 90°, 180°, 270°).
Rysunek 7 Kalka techniczna przygotowana do wykorzystania siatki Wulfa: wykreślone koło
projekcji, zaznaczony środek projekcji oraz osie pomiarowe NS i WE
Położenie dowolnego punktu w kole projekcji jest określone przez współrzędne kątowe ϕ
oraz ρ.
Kąt ρ odczytuje się od środka koła projekcji wzdłuż średnicy siatki Wulfa. W przypadku, gdy
dany punkt leży na jednej z osi pokrywających się z narysowanymi średnicami NS lub WE
siatki Wulfa, to wówczas wartość kąta odczytuje się bezpośrednio wzdłuż tej średnicy. Jeżeli
punkt na kalce znajduje się w innym położeniu to obracając kalkę należy go przeprowadzić
na średnicę NS lub WE siatki Wulfa i odczytać wzdłuż niej kąt ρ. Kąt ϕ odczytuje się wzdłuż
okręgu koła projekcji. Punkt zerowy odczytu znajduje się w miejscu przecięcia prawego
końca średnicy WE siatki Wulfa z okręgiem koła projekcji. Odczytów dokonuje się zgodnie z
biegiem wskazówek zegara w przedziale 0 - 360°. Jeżeli punkt leży na okręgu koła projekcji,
to odczyt przeprowadza się bezpośrednio. Jeżeli zaś punkt znajduje się wewnątrz koła
projekcji, to przez ten punkt należy poprowadzić promień ze środka projekcji do przecięcia z
okręgiem i odczytać wartość ϕ.
Pełne jego wykonanie składa się z dwóch etapów:

rzut środkowy bryły na powierzchnię kuli,

rzut powierzchni kuli na płaszczyznę rysunku.
2. WYKONANIE ĆWICZNIEA
Wykonanie rzutu środkowego na powierzchnię kuli
Z dowolnie wybranego punktu 0 (może to być środek kryształu) prowadzimy normalne do
ścian kryształu. Wokół punktu 0 zataczamy kulę o promieniu jednostkowym. Punkty, których
normalne poszczególnych ścian przebijają powierzchnię kuli, nazywamy biegunami ścian lub
sferycznymi rzutami ścian. Zbiór biegunów ścian stanowi rzut sferyczny kryształu (rzut
środkowy na powierzchnię kuli).
Cechy rzutu sferycznego:

uwidacznia związki pasowe pomiędzy ścianami kryształu (wszystkie ściany należące
do jednego pasa leżą na okręgu koła wielkiego, prostopadłego do osi pasa, tzn.
wspólnego kierunku krawędzi utworzonych przez ściany pasa),

wiernokątny (izogonalny), tzn. równym kątom pomiędzy ścianami odpowiadają równe
odległości biegunów ścian. Odległość biegunów w mierze kątowej jest równa kątowi
między normalnymi ścian a więc równa się dopełnieniu kąta między ścianami do
180°,

kąty pomiędzy krawędziami są równe kątom pomiędzy osiami pasów na rzucie
sferycznym.
Wykonanie rzutu stereograficznego
1. Kryształ otocz sferą.
2. Poprowadź normalne (proste prostopadłe) do ścian kryształu – otrzymasz zbiór
punktów na sferze.
3. Przeprowadź płaszczyznę przez środek kuli.
4. Poprowadź prostą prostopadła do tej płaszczyzny – otrzymasz dwa bieguny (N i S).
5. Punkty z górnej półkuli połącz z biegunem dolnym S i oznacza na rzucie kółkiem.
6. Punkty z dolnej półkuli połącz z biegunem górnym N i oznacz na rzucie krzyżykiem.
Rysunek 8 Rzut stereograficzny
Załącznik 1
Imię i nazwisko:
Rok/grupa/zespół
Nr lab.
Data
Krystalografia LAB.
Temat
Ocena
1. Wstęp teoretyczny – omówienie podstawowych pojęć związanych z tematem
(wymagane pojęcia zostaną podane przez prowadzącego zajęcia);
2. Część praktyczna
Cel
 Wykonać rzut stereograficzny modelu kryształu 3D