Zestaw I

Zestaw I
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
24 lutego 2014 r.
łatwo obliczyć wartość średnią oraz wariancję dla zmiennej
losowej X:
E pX q
varpX q G1X p1q,
G2X p1q
2
G1X p1q G1X p1q
.
Zadanie 5 (1 punkt)
Zadanie 1 (1 punkt)
Prawdziwe sherry wyrabiane jest w Hiszpanii zgodnie z
wielostopniowym systemem zwanym „Solera”. Dla uproszW latach 1997-2001 w TV Polsat emitowany był teletur- czenia założymy, że mamy tylko trzy beczki, oznaczone A,
niej „Idź na całość”. W studiu znajdowały się trzy bramki. B i C. Każdego roku jedną trzecią wina z beczki C rozleW jednej znajdowała się główna nagroda, w drugiej nagro- wamy do butelek i dopełniamy winem z beczki B. Potem
da pocieszenia, trzecia bramka była pusta. Bramki były beczkę B dopełniamy do pełna winem z beczki A i na końzasłonięte, a uczestnik programu musiał wybrać jedną z cu beczkę A dopełniamy nowym winem. Niech Apz q, B pz q
nich. Po dokonaniu wyboru, prowadzący odsłaniał jedną i C pz q będą funkcjami tworzącymi, dla których współczynbramkę (inną niż wybrał uczestnik, i co więcej – zawszę nik przy z n jest proporcją n-letniego wina w odpowiedniej
taką która była pusta bądź tę, która zawierała nagrodę beczce, tuż po dokonaniu przelewania.
pocieszenia). Następnie uczestnik mógł zmienić swój wyi) czynności były wykonywane od niepamiętnych czabór (zmienić bramkę), bądź pozostać przy wcześniejszym
sów, tak że mamy ustabilizowany stan, w którym
wyborze.
Apz q, B pz q i C pz q są takie same na początku każdego
Jak zachowalibyście się, będąc uczestnikiem takiego proroku. Znajdź postać zwartą dla tych funkcji tworzągramu? Zmienilibyście bramkę, czy też pozostali przy
cych.
wcześniejszym wyborze?
Zadanie 2 (1 punkt)
Na okręgu o promieniu jednostkowym w sposób losowy
skonstruowano cięciwę AB. Oblicz prawdopodobieństwo,
że cięciwa będzie dłuższa, niż bok trójkąta równobocznego
wpisanego w ten okrąg.
ii) Znajdź wartość średnią i odchylenie standardowe dla
wieku wina w każdej beczce, przy tych samych założeniach. Jaki jest średni wiek sherry, gdy się ja butelkuje? Jaka część ma dokładnie 25 lat?
Zadanie domowe (2 punkty) :
Do oddanie przed kolejnymi zajęciami.
Używając definicji dla funkcji tworzących dla rozkładów
Zadanie 3 (1 punkt)
dyskretnych rozważ następującą grę hazardową: gracz zaFunkcją charakterystyczną dla rozkładów ciągłych jest czyna z pulą A i rzuca (wyważoną) kością. Jeśli wypadnie k oczek, to mnoży swoją pulę przez 2pk 1q{5. W
ich transformacja Fouriera:
lub
szczególności podwaja swoją stawkę jeśli wyrzucił
» 8
traci wszystko jeśli wyrzucił . Grę można skończyć w doφX pk q ρX pxqeikx dx.
wolnym momencie, dostając aktualną pulę pieniędzy. Jaka
8
jest wartość średnia oraz wariancja po n rzutach? Zignoruj
i) Wyznacz funkcję charakterystyczną dla rozkładu efekty zaokrąglenia stawki.
Gaussa (µ, σ);
ii) Jak obliczyć momenty zmiennej losowej mając postać jej funkcji charakterystycznej? Jako przykład wyznacz pierwsze trzy momenty dla rozkładu Gaussa
(µ, σ).
Literatura
[1] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, wyd. 4-te, PWN, Warszawa, 2006.
Zadanie 4 (1 punkt)
Przyjmijmy, że X jest zmienną losową, która przybiera tylko nieujemne wartości całkowite. Funkcją tworzącą
takiej zmiennej może być :
GX pz q ¸
¥
P pX
k qz k ,
k 0
: Zadanie domowe nie jest obowiązkowe. Jednak to zadanie jest
gdzie P pX k q to prawdopodobieństwo, że zmienna loso- warte aż 2 punkty. Zachęcam więc do jego zrobienia. Zadanie dowa X ma wartość k. Używając powyższej definicji można mowe można przynieść na najbliższe ćwiczenia lub wysłać w formie
Funkcją taką można łatwo uogólnić – patrz [1] rozdział 7 i 8.
elektronicznej w terminie do 3 marca do godziny 1400 . W razie problemów zapoznajcie się z [1], rozdział 8.