Zestaw III

Podpowiedź: (i) Rozważ jak zależy P11 pt ∆tq i P12 pt
∆tq od odpowiednich prawdopodobieństw w chwili t, a następnie przejdź z ∆t Ñ 0, żeby dostać równanie różniczkowe. (ii) Rozważ jak zależy P1war pt ∆tq od P1war ptq.
Zestaw III
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
11 marzec 2013 r.
Zadanie 3 (1 punkt)
Komentarze i uzupełnieni
do poprzedniego zestawu
Cząstka porusza się skokami o długości jeden co sekundę, w prawo lub w lewo (z równym prawdopodobieństwem).
W zadaniu 1, w podpunkcie piiiq mamy dwa rozwiązania
?
?
równania y x2 : x1 y i x1 y. Stąd:
ρY py q
gdzie ρX
i) Sprawdź, że proces ten jest łańcuchem Markowa;
ii) Oblicz macierz przejścia Ppnq dla n skoków.
21?y ρX p2?yq 2?1 y ρX p2?yq
?1πy ey , dla y P r0, 8s,
iii) Oblicz średni kwadrat odległości cząstki w chwili n
sekund od punktu początkowego k.
iv)* Jaki wynik dostalibyśmy, gdyby cząstka poruszała się
w odstępach τ o odległość l? Co dostalibyśmy przeto funkcja gęstości dla rozkładu Gaussa p0, ?12 q.
chodząc z τ Ñ 0 i l Ñ 0, tak że l2 {τ Ñ 2D?
Uwaga dodatkowa: Składnikami macierzy Ppnq są elementy Pkl pnq będące prawdopodobieństwem warunkowym
znalezienia cząstki w chwili n sekund w punkcie j przy warunku, że w chwili t0 0 cząstka była w punkcie k
Zadanie 1 (1 punktów)
Pewien początkowy bigamista1 B posiadał dwie narzeczone, J i K, mieszkające na przeciwległych krańcach miasta. Nie mogąc zdecydować się, którą narzeczoną woli, postanowił że będzie odwiedzał je w sposób losowy. Każdego
dnia, kończąc pracę w centrum miasta (pracował tam codziennie i kończył ją w losowym momencie), udawał się
więc na przystanek tramwajowy, a następnie wsiadał do
pierwszego nadjeżdżającego tramwaju (w mieście funkcjonowały tylko 2 linie tramwajowe, jedna prowadząca bezpośrednio pod dom J, a druga prowadząca pod dom K.
Dodatkowo tramwaje posiadały bardzo prosty rozkład jazdy – podjeżdżały one na przystanek co 10 minut. Były też
niezwykle punktualne i nigdy się nie spóźniały).
Po pewnym czasie K stwierdziła, że B przebywa w jej
mieszkaniu średnio 5 dni w tygodniu. Jako, że B miał w
gruncie rzeczy nieprzyjemny charakter, sprawiło to, że K
poczuła się zmęczona całą tą sytuacją i rzuciła B. W tym
samym czasie J stwierdziła, że B przebywa u niej tylko
średnio 2 dni w tygodniu i zaczęła nakłaniać B do ślubu,
by skłonić go do stałego u niej zamieszkania.
Cała ta sytuacja zaskoczyła B, któremy wydawało się,
że traktował obie kobiety tak samo. Wyjaśnij jak to mogło
być możliwe.
Podpowiedź: Jednym z łatwiejszych sposobem rozwiązania punktu (ii) to podejście kombinatoryczne.
Drugi sposób zakłada użycie równania ChapmanaKołomogorowa-Smoluchowskiego, które dla naszego dyskretnego przypadku wyglądałoby w następujący sposób
8
¸
Pkj pnq l
Pkl pn 1qPlj p1q,
8
następnie użycie transformacji
8
¸
Fkn pφq j
8
eijφ Pkj pnq,
zapisanie w zwartej formie Fkn pφq, a następnie wyrażenie
Pkj pnq jako
Pkj pnq Zadanie 2 (1 punkt)
1
2π
»
2π
0
eijφ Fkn pφq dφ.
Zadanie 4 (2 punkty)
[Dwustabilny proces Markowa] Cząstka skacze z punk[Zadanie zasugerowane przez prof. Gudowską-Nowak]
tu 1 do punktu 2 lub na odwrót. Prawdopodobieństwo
Zapoznać się z artykułem J. Neymana On a New Class
P12 p∆tq przejścia z 1 do 2 (lub P21 p∆tq przejścia z 2 do 1)
w bardzo małym czasie ∆t jest równe λ∆t. W chwili t0 0 of “Contagious” Distributions, Applicable in Entomology
and Bacteriology, The Annals of Mathematical Statistics,
cząstka znajduje się w położeniu 1.
Vol. 10, p. 35-57, (1939), dostępnym pod adresem http://
i) Znajdź prawdopodobieństwo P1 ptq, że cząstka w chwiwww.jstor.org/stable/10.2307/2235986 lub na mojej
li t znajduje się w punkcie 1;
stronie domowej w dziale dydaktyki.
ii) Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe, że cząstka
Opowiedzieć pozostałym uczestnikom zajęć, o czym jest
w chwili t znajduje się w punkcie 1, przy czym w ten artykuł. Pomocnicze materiały (zwłaszcza rachunkoprzeszłości (od chwili t0 ) nie wykonała ani jednego we) można znaleźć również w [5]. Prezentacja może mieć
skoku z 1 do 2.
nieformalny charakter i powinna zabrać nie więcej niż 20
1 Nie zachęcamy.
minut.
1
Zadanie 5 (1 punkt)
Prawdziwe sherry wyrabiane jest w Hiszpanii zgodnie z
wielostopniowym systemem zwanym „Solera”. Dla uproszczenia założymy, że mamy tylko trzy beczki, oznaczone A,
B i C. Każdego roku jedną trzecią wina z beczki C rozlewamy do butelek i dopełniamy winem z beczki B. Potem
beczkę B dopełniamy do pełna winem z beczki A i na końcu beczkę A dopełniamy nowym winem. Niech Apz q, B pz q
i C pz q będą funkcjami tworzącymi, dla których współczynnik przy z n jest proporcją n-letniego wina w odpowiedniej
beczce, tuż po dokonaniu przelewania.
i) czynności były wykonywane od niepamiętnych czasów, tak że mamy ustabilizowany stan, w którym
Apz q, B pz q i C pz q są takie same na początku każdego
roku. Znajdź postać zwartą dla tych funkcji tworzących.
ii) Znajdź wartość średnią i odchylenie standardowe dla
wieku wina w każdej beczce, przy tych samych założeniach. Jaki jest średni wiek sherry, gdy się ja butelkuje? Jaka część ma dokładnie 25 lat?
Literatura
[1] K. Huang, Podstawy Fizyki Statystycznej, PWN,
Warszawa, 2006.
[2] H. Arodź, K. Rościszewski, Fizyki statystyczna i termodynamika fenomenologiczna dla studentów zaocznych, wyd.2, Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków,
1980.
[3] H. Arodź, K. Rościszewski, Zbiór zadań z termodynamiki i fizyki statystycznej dla studentów zaocznych,
Wyd. Uniw. Jagiellońskiego, Kraków, 1980.
[4] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, wyd. 4-te, PWN, Warszawa, 2006.
[5] Wikipedia,
http://en.wikipedia.org/wiki/
Compound_Poisson_distribution
2