Wojciech MASTEJ, Lech KĄDZIOŁA Jednorodność parametrów

WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
Materiały Warsztatów str. 451–458
Wojciech MASTEJ, Lech KĄDZIOŁA
Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków
Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą geostatystyczną –
prezentacja działania oprogramowania na danych z KWB Bełchatów
Streszczenie
Zbudowano program komputerowy ŚredniGMZ (skrót od średni geostatystyczny model
zmienności), który umożliwia oszacowanie jednorodności parametrów kopaliny, o ile znane są
geostatystyczne modele zmienności tych parametrów. Wiarygodna ocena jednorodności jest
konieczna ze względu na wymogi zakładów przeróbczych. Jako miarę niejednorodności użyto
tzw. wariancję międzyblokową, pokazującą zmienność parametrów między blokami
(parcelami) eksploatacyjnymi o zdefiniowanym kształcie i wielkości. Podczas każdego przebiegu programu można symulować inny kształt i wielkość bloków eksploatacyjnych dla
zadanego parametru złożowego. Pozwala to tak dobrać bloki, by wartość wariancji międzyblokowej nie przekroczyła z góry założonego progu.
1. Wstęp
Jednorodność parametrów wydobywanej kopaliny jest bardzo pożądana przez zakłady
górnicze, związane umowami z zakładami przeróbczymi. Dla elektrowni pracującej przy KWB
„Bełchatów” w Rogowcu korzystne jest, aby zmienność parametrów jakościowych węgla,
wydobywanego w blokach eksploatacyjnych, nie była większa od założonego progu. Wygodną
miarą tej zmienności jest wariancja międzyblokowa. Ponieważ parametry jakościowe powinny
być traktowane jako zmienne zregionalizowane, to wspomniana wariancja winna być obliczana
metodą geostatystyczną, z uwzględnieniem geostatystycznych modeli zmienności parametrów.
Celem niniejszej pracy było skonstruowanie oprogramowana służącego takim obliczeniom.
2. Metodyka szacowania wariancji międzyblokowej dla bloków eksploatacyjnych
o różnej wielkości i kształcie
Ogólnie wiadomo, że wariancja ma charakter addytywny, o ile jej źródła są niezależne.
Jeżeli populacja generalna jest podzielona na rozłączne klasy, to całkowita wariancja
parametru złożowego w populacji generalnej może być wyrażona jako suma wariancji
wewnątrzklasowej i wariancji międzyklasowej. Choć sposób podziału populacji na części
uzewnętrznia się w wartościach wariancji między- i wewnątrzklasowej, to wariancja ogólna,
będąca sumą tychże wariancji, jest stała i nie zależy od tego, jak populacja została podzielona.
Jeżeli całe pole złożowe V, tzw. obszar bazowy, uznamy za naszą populację generalną i podzielimy na k rozłącznych bloków eksploatacyjnych vi (i = 1, 2, …, k), to całkowita wariancja
2(V) może być wyrażona jako suma wariancji międzyblokowej 2(v/V) i wewnątrzblokowej
451
W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA – Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą …
2(v). Wariancja międzyblokowa może być obliczona jako różnica między wariancją ogólną
i wewnątrzblokową:
 2 (v / V )   2 (V )   2 (v)
(2.1)
Przechodząc na wariancje próbkowe, możemy wzór (2.1) zapisać następująco:
s 2 (v / V )  s 2 (V )  s 2 (v)
(2.2)
Przy przyjęciu losowego modelu zmienności parametru złożowego, do obliczenia
wariancji międzyblokowej wystarczyłoby zastosować klasyczne wzory na wariację. Jednak,
według niektórych autorów (Mucha 1994), stwierdzana w praktyce losowa zmienność jest
raczej efektem niepełnej wiedzy o złożu. Bezpieczniej jest zatem przyjąć model deterministyczno-probabilistyczny, w którym zakłada się istnienie nie tylko losowego, ale również
nielosowego składnika zmienności. Parametr złożowy zaczyna być traktowany nie jak zwykła
zmienna losowa, ale jako zmienna zregionalizowana, posiadająca losową i nielosową część
zmienności.
Aby była możliwa statystyczna interpretacja losowej zmienności zmiennej zregionalizowanej, nakłada się zwykle na tą zmienną warunek stacjonarności. Hohn (1988) wyróżnia
cztery stopnie stacjonarności. Stopniem wystarczającym w większości problemów geostatystycznych jest stacjonarność przyrostów wartości zmiennej zregionalizowanej. Można ją
zdefiniować w następujący sposób – przeciętna wartość i wariancja przyrostów nie zależą od
miejsca pomiaru:
E[Z ( x  h)  Z ( x)]  m(h)
D2[Z ( x  h)  Z ( x)]  E[Z ( x  h)  Z ( x)]2  2 (h)
(2.3)
(2.4)
gdzie:
E, D2 – operatory wartości oczekiwanej i wariancji;
Z(x+h), Z(x) – wartości parametru złożowego Z w parach punktów pomiaru oddalonych
o odległość h;
m(h) – wartość oczekiwana różnic wartości zmiennej w punktach oddalonych o h;
2(h) – oznacza funkcję wariancji przyrostów, tzw. wariogram, będący podstawą geostatystycznego opisu zmienności; (h) – to półwariogram (semiwariogram).
Zazwyczaj stosuje się klasyczny, podany przez Matherona (1968), estymator wariancji
przyrostów, zwany również wariogramem empirycznym:
2 (h) 
1
nh
nh
[Z ( xi  h )  Z ( xi )]2
(2.5)
i 1
gdzie:
nh – liczba par punktów pomiaru odległych o h.
Z(xi+h), Z(xi) – wartości parametru we wszystkich nh punktach pomiaru oddalonych o h,
Semiwariogram empiryczny (h) jest aproksymowany jedną z dozwolonych funkcji
analitycznych. Funkcje te nazywane są geostatystycznymi modelami zmienności lub
semiwariogramami teoretycznymi.
452
WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
Założenie o stacjonarności przyrostów wartości zmiennej zregionalizowanej pozwala na to,
by w przypadku, gdy bloki eksploatacyjne mają tę samą wielkość i kształt, uwzględniać w obliczeniach tylko ich jednego przedstawiciela, tzw. obszar obliczeniowy v. Przyjmując model
deterministyczno-losowy, można obliczać wariancję międzyblokową jako różnicę między
średnią wartością semiwariogamu dla obszaru bazowego i obszaru obliczeniowego. Wzór (2.2)
zapiszemy teraz w następującej postaci (Mucha, 1994):
_
_
s 2 (v / V )   (V )   (v)
(2.6)
Użycie wzoru (2.6) wymaga uprzedniego obliczenia średnich wartości semiwariogramu
teoretycznego w obszarach bazowym i obliczeniowym. Zakłada się, że semiwariogram
teoretyczny jest już znany przed przystąpieniem do obliczeń. Jeśli nie, to zachodzi konieczność
jego obliczenia za pomocą innego oprogramowania. Wartość średnią semiwariogramu dla
zadanego obszaru szacuje się w ten sposób, że obszar pokrywa się odpowiednio gęstą,
regularną siecią punktów, następnie dla wszystkich możliwych par punktów w obszarze
oblicza się wartości semiwariogramu teoretycznego, a na końcu sumuje się te wartości i dzieli
je przez liczbę par d:

 (V ) 
1 d
 (hi )
d i 1
(2.7)
Jeżeli w obszarze znajdzie się n punktów, to liczba par wyniesie:
d  n(n  1) / 2
(2.8)
Odległości między punktami w każdej parze punktów obliczana była ze wzoru Euklidesa.
Ponieważ obszary są definiowane jako poligony na kanwie utworzonej wcześniej sieci
punktów, trzeba przed przystąpieniem do obliczeń wskazać punkty należące do zadanych
obszarów. Użyto tu metody Reverdy’ego (Bourke 1987), polegającej na obliczeniu sumy
kątów zawartych pomiędzy odcinkami łączącymi testowany punkt z każdą parą punktów
budujących poligon. Jeżeli suma wynosi 2, wtedy taki punkt znajduje się wewnątrz poligonu,
jeśli 0 – punkt znajduje się na zewnątrz poligonu.
3. Program komputerowy ŚredniGMZ do obliczania wariancji międzyblokowej
3.1. Wprowadzanie danych do obliczeń
Dane wprowadzane do obliczeń to współrzędne obszaru bazowego i obliczeniowego oraz
typ i parametry geostatystycznego modelu zmienności. Obszar bazowy i obliczeniowy są
wielokątami, zatem definiuje się je poprzez wpisanie wszystkich współrzędnych wierzchołków. Zdefiniowane obszary zostają automatycznie pokryte regularną siatką punktów,
nazwanych punktami rozpoznawczymi (rys. 1). Gęstość siatki można ustawiać w Parametrach
widoku. Należy przy tym przestrzegać zasady empirycznej, aby wewnątrz obszaru bazowego V
453
W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA – Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą …
i obliczeniowego v znajdowało się co najmniej 16 punktów rozpoznawczych. Obszary mogą
mieć różne wielkości i kształty.
Rys. 3.1. Okno programu ze zdefiniowanym obszarem bazowym (szare granice)
i obliczeniowym (czarne granice)
Fig. 3.1. Program window with basic area (grey borders) and test area (black borders)
Estymacja wartości wariancji międzyblokowej dla zadanego obszaru bazowego wymaga
gotowego geostatystycznego modelu zmienności. W obecnej wersji programu, obliczenia są
możliwe, gdy model zmienności jest liniowy, zadany wzorem:
 (h)  C0 
C
h
a
(3.1)
lub sferyczny sferyczny:
3 h
1h
  
 2 a 2  a 
 (h)  C0  C 
454
3


(3.2)
WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
W odpowiednich oknach edycyjnych należy podać parametry modelu:
C0 – zmienność lokalna parametru,
C – amplituda semiwariogramu,
a – zasięg semiwariogramu.
3.2. Obliczanie wariancji międzyblokowej
Algorytm obliczania wariancji międzyblokowej składa się z kilku etapów. Na początku, za
pomocą metody Reverdy’ego (Bourke 1987) zostają wskazane punkty rozpoznawcze, leżące
wewnątrz obszarów V i v. Następnie, dla każdej pary takich punktów (oddzielnie dla każdego
z obszarów) oblicza się odległość Euklidesa między punktami pary i wartość semiwariogramu
teoretycznego (wzór 3.1 albo 3.2). Po wstawieniu tych wartości do wzoru (2.7), oblicza się
średnie wartości semiwariogramów teoretycznych dla obszarów V i v. Wariancję międzyblokową otrzymuje się ze wzoru (2.6).
Należy zauważyć, że w sytuacji, gdy znany jest geostatystyczny model zmienności
parametru złożowego, do symulacji nie jest potrzebna znajomość wartości tego parametru
w punktach rozpoznawczych. Znajomość modelu zmienności dla całego obszaru bazowego V
umożliwia obliczenie średniej wartości semiwariogramu teoretycznego obszaru bazowego V
i dla każdego możliwego obszaru obliczeniowego v o zadanej wielkości i kształcie. W obecnej
wersji, w programie mogą być wykorzystywane jedynie modele izotropowe.
4. Przykładowe badanie jednorodności węgli brunatnych ze złoża bełchatowskiego
Program ŚredniGMZ wykorzystano do zbadania jednorodności zawartości procentowej
popiołu [Ar] w pokładzie głównym, w polu złożowym „Bełchatów” złoża bełchatowskiego.
W obliczeniach wykorzystano geostatystyczny model zmienności tego parametru, opracowany
na podstawie kilkuset otworów przez (Bartuś, 2005). Był to model sferyczny izotropowy, właściwy dla całego pola złożowego:
3
3 h
1 h  
 
 
 2 1700 2  1700  
 (h)  9,7  13,4
(4.1)
Mimo stwierdzonej anizotropii, potwierdzono przydatność tego izotropowego modelu testem krzyżowym.
Badania miały charakter symulacyjny. W obliczeniach uwzględniano obszary obliczeniowe
w kształcie prostokątów o jednym boku dwa razy dłuższym od drugiego. Kształt obszarów
nawiązuje do wielkości i kształtu parceli, w jakich jest obecnie wydobywany węgiel (bloki
60 × 120 m). Stosunek wielkości pola złożowego do bloków eksploatacyjnych przedstawia
rys. 4.1.
455
W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA – Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą …
[m]
44000
blok 60 x 120 m
43000
gran
ica o
obszary
obliczeniowe
bsza
ru b
azow
ego
42000
41000
50000
52000
54000
56000
58000
62000 [m]
60000
Rys. 4.1. Bloki obliczeniowe na tle pola złożowego Bełchatów
Fig. 4.1. Test blocks on the mining area Bełchatów
Wyniki symulacji przedstawiono na wykresie zależności wariancji międzyblokowej od
przekątnej prostokąta obliczeniowego (rys. 4.2) i w tab. 4.1. Przekątna ta jest maksymalną
odległością między punktami rozpoznawczymi w bloku. W przypadku stosowania modelu
izotropowego orientacja prostokątów nie odgrywa roli, zatem wykonane obliczenia są
obowiązujące również po obrocie prostokątów o dowolny kąt, np. 90.
14
Blok obliczeniowy
60 x 120 m
2
Wariancja międzyblokowa [% ]
12
10
8
6
.
4
2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
.
Przekątna prostokąta obliczeniowego [m ]
Rys. 4.2. Wariancja międzyblokowa zawartości popiołu w funkcji przekątnej prostokąta obliczeniowego
Fig. 4.2. Dispersion Variance of ash content in dependence on test area diameter
Wartości wariancji międzyblokowej uzyskano przez odejmowanie średnich wartości
semiwariogramu teoretycznego dla poszczególnych bloków obliczeniowych od średniej
456
WARSZTATY 2007 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
wartości tego semiwariogramu dla całego pola złożowego Bełchatów, która wyniosła 22,4. Jest
to wartość bardzo zbliżona do wartości teoretycznej wariancji C0 + C = 23,1, co nie dziwi, jeśli
weźmie się pod uwagę rozmiary pola złożowego, wielokrotnie przekraczające zasięg semiwariogramu a = 1700 m (dla h > a, semiwariogram sferyczny ma stałą wartość C0 + C ).
Tabela 2.1. Wyniki symulacji dla zawartości popiołu
Table 2.1. Results of simulations for ash content
Szerokość
[m]
2
4
7
14
30
60
120
240
480
760
960
1200
1500
1920
Bloki obliczeniowe
Średnia wartość
Długość
Wariancja
Długość przekątnej Powierzchnia semiwariogramu
[m]
[m]
[m2]
teoretycznego międzyblokowa
4
4.47
8
9.72
12.68
8
8.94
32
9.74
12.66
14
15.65
98
9.77
12.63
28
31.30
392
9.83
12.57
60
67.08
1800
10
12.4
120
134.16
7200
10.3
12.1
240
268.33
28800
10.9
11.5
480
536.66
115200
12
10.4
960
1073.31
460800
14.2
8.2
1520
1699.41
1155200
16.4
6
1920
2146.63
1843200
17.7
4.7
2400
2683.28
2880000
18.9
3.5
3000
3354.10
4500000
20
2.4
3840
4293.25
7372800
21
1.4
Na szaro zaznaczono obliczenia dla bloku 60 × 120 m.
5. Wnioski
Prezentowany program komputerowy ŚredniGMZ umożliwia przeprowadzenie ciągów
symulacyjnych obliczeń wariancji międzyblokowej dla różnych wielkości i kształtów parcel
eksploatacyjnych, o ile wcześniej jest znany geostatystyczny model zmienności dla całego pola
złożowego lub jego części. Symulacje takie pozwalają wybrać odpowiedni kształt i wielkość
parcel, gwarantujący spełnienie kryteriów jednorodności kopaliny, narzuconych przez zakład
przeróbczy.
W obecnej wersji, program ma kilka ograniczeń, które planuje się usunąć po jego
rozbudowie. W nowej wersji, w obliczeniach będzie uwzględniany nie tylko model liniowy
i sferyczny, ale również inne powszechnie stosowane modele. Ponadto będzie możliwość
stosowania modeli złożonych, tzn. modeli zbudowanych z kilku modeli podstawowych.
Planuje się również wzbogacenie programu o możliwość uwzględniania anizotropii parametru
złożowego (semiwariogramy kierunkowe). Po modernizacji i optymalizacji program zyska
charakter profesjonalny.
Praca finansowana w ramach umowy 11.11.140.159.
457
W. MASTEJ, L. KĄDZIOŁA – Jednorodność parametrów kopaliny testowana metodą …
Literatura
[1] Bartuś T. 2005: Statystyczne modele zmienności parametrów jakości węgla brunatnego w centralnej części złoża Bełchatów, AGH, Kraków, (praca doktorska).
[2] Bourke P. 1987: Determining if a point lies on the interior of a polygon, [6.02.2007],
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/insidepoly/
[3] Hohn E. M. 1988: Geostatistics and Petroleum Geology, Van Nostrand Reihold, New York.
[4] Matheron G., 1968: Osnowy prikładnoj geostatistiki, Wyd. Mir. Moskwa.
[5] Mucha J., 1994: Metody geostatystyczne w dokumentowaniu złóż, Kraków.
Deposit parameters homogeneity tested by using geostatistical method –
demonstration of software on the basis of data from a lignite mine
(the Bełchatów mine, central Poland)
Computer program ŚredniGMZ (abbreviations of ‘mean geostatistical variability model’)
was built to evaluate the parameters homogeneity of mineral raw-materials if geostatistical
variability models are known. Reliable homogeneity evaluation is necessary because of the
requirements of processing plants. The dispersion variance was used as a measure of
non-homogeneity, which shows parameter variability among exploitation blocks of defined
shape and size. During each run of the program, simulation of various shapes and sizes of
blocks can be done for the selected parameter. This allows the selection of blocks such that the
dispersion variance does not to exceed the presumed value.
Przekazano: 28 lutego 2007 r.
458