Spis treści AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych

Spis treści
1 AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing
1.1 Animacja pokazująca efekt aliasingu
1.2 Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera
1.3 Splot z grzebieniem Diraca
2 AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
2.1 Twierdzenie o próbkowaniu
2.2 Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing
Animacja pokazująca efekt aliasingu
Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale
jednowymiarowym
Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera
Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego
Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach
równania dla
, możemy odtworzyć z powyższgo
Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej
transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą
powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności
.
Splot z grzebieniem Diraca
Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej
iloczynu sygnału ciągłego
jako
z grzebieniem Diraca
Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca
:
Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie
odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału
z wyliczoną powyżej
transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni
częstości.
Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z
deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z
przesuwa funkcję o
. Z liniowości
splotu dostajemy sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o
wielokrotności odwrotności
.
Poniższe rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i
mniejszą od częstości Nyquista:
Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
Próbkowanie (
) sygnałów o częstościach: (a) 0.27,
(b) 1.27 i (c) 0.6. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27
daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie
same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing) . Sygnał (d)
jest sumą (a), (b) i (c). (e) — dodatnia część modułu
transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). (f) — jak e), ale
obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w
miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie
(???) z przejściem od (e) do (f) widać, że częstość 1.27
zlewa się z częstością 0.27 (
) — wysokość
odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku
do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei
na 0.4 (w tym przypadku
a "zawija się" dokładnie
częstość
)
AS/ Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się
na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.
Twierdzenie o próbkowaniu
Sygnał ciągły
możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu
jeśli nie było w nim częstości wyższych niż
,
.
Dowód
Dla uproszczenia przyjmijmy
. Wtedy
, czyli transformata Fouriera sygnału
, będzie
niezerowa co najwyżej pomiędzy
Oznaczmy
a .
funkcję o okresie , tożsamą z
na przedziale
.
Przedstawia ją szereg Fouriera:
Współczynniki
tego rozwinięcia dane są wzorem:
Współczynniki
, dane przez wartości sygnału
w punktach próbkowania, jednoznacznie określają
funkcję
, ta z kolei zawiera w sobie
— transformatę Fouriera ciągłego sygnału
określa jednoznacznie również sam sygnał.
, czyli
Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:
ponieważ
dostajemy
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i
odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też
nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).
Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem
analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.