ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista IX Wydział Inż. Środ

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI
Wydział Inż. Środ./kierunek: IŚ
Lista IX
Pole grawitacyjne. Dynamika bryły sztywnej 1.
Physics makes you think
Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką. Pozostałe są przeznaczone do samodzielnego
rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach. Prowadzący zajęcia wskazuje studentów,
którzy w ramach pracy domowej przygotowywują pisemne rozwiązania wybranych zadań z gwiazdką.
*1. Soho — stacja kosmiczna obserwująca non-stop Słońce — jest umieszczona w punkcie, gdzie równoważą się siły grawitacji
Ziemi i Słońca. W jakiej odległości od Ziemi znajduje się Soho? Zainteresowanych odsyłam do niezwykle interesującej
strony http://sohowww.nascom.nasa.gov/ zawierającej zdjęcia i filmy aktywności Słońca. Na mojej stronie jest dostępny
wykład popularnonaukowy pt. Światło — cud nieożywiony? wykorzystujący dane zebrane przez SOHO.
*2. Identyczne kule o masach M umieszczone są w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Wyznaczyć natężenie
i potencjał pola grawitacyjnego w środku trójkąta i w środku jednego z boków. Jaką pracę wykona siła grawitacji, a jaką
siła zewnętrzna przy przesunięciu jednej z kul lub dwóch do nieskończoności? WS-ka: Skorzystać z twierdzenia o pracy
i grawitacyjnej energii potencjalnej.
*3. Dwa ciała o masach m i M znajdują się w spoczynku nieskończenie daleko od siebie. Następnie zbliżają się do siebie
wzdłuż jednej prostej pod p
wpływem siły grawitacji. Pokazać, że ich wzajemna prędkość zbliżania się w chwili, gdy dzieli
je odległość d, jest równa 2G(M + m)/d. Ws-ka: zastosować zasady zachowania energii i pędu.
*4. A) Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi natężenie jej pola grawitacyjnego (przyspieszenie) jest równe g/4? B) Jak
długa byłaby doba ziemska, gdyby spoczywające na równiku ciała nic nie ważyły?
5. Obliczyć i porównać ze sobą siły oddziaływań grawitacyjnych: Ziemi i Księżyca oraz Ziemi i Słońca. Masy: MZ =
6 · 1024 kg, MK = 7,4 · 1022 kg, MS = 2 · 1030 kg; odległości: dZ−K = 3,8 · 108 m, dZ−S = 1,5 · 1011 m; stała grawitacji G =
6,67 · 10−11 m3 /(s2 kg).
6. Energia mechaniczna Em planety o masie m poruszającej się po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej a wokół Słońca
o masie M jest równa Em = −GM m/(2a). Obliczyć energię Em znając okres obiegu planety T ale nie znając a. Ws-ka:
Skorzystać z III prawa Keplera.
7. Układ podwójny tworzą dwie gwiazdy, z których każda ma masę 3 · 1030 kg. Gwiazdy krążą wokół środka masy po
orbitach o promieniach 1011 m. Ile wynosi ich jednakowa prędkość kątowa?
8. p
Pokazać, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad powierzchnią planety w czasie T =
Gρ/(3π), gdzie ρ — średnia gęstość masy planety.
9. Obliczyć prędkości ucieczki dla: A) Słońca, B) Syriusza, białego karła o masie 2 · 1030 kg i promieniu 107 m, C) Gwiazdy
neutronowej o masie Syriusza i promieniu 104 m.
p
10. Z powierzchni planety o masie M i promieniu R wystrzelono pionowo do góry pocisk z prędkością GM/R. Na jaką
wysokość wzniesie się pocisk? Wynik podać w R.
11. Dwa klocki o jednakowych masach m, które dzieli w pionie odległość H znajdują się przy powierzchni kulistej i jednorodnej planety. Średnia gęstość masy tej planety wynosi ρ. Pokazać, że różnica ciężarów klocków jest równa 8πGρmH/3.
12. A) Zakładając, że orbita Ziemi jest kołowa obliczyć jej prędkość orbitalną. B) Wyznaczyć energię mechaniczną Ziemi
w polu grawit. Słońca. C) Obliczyć energię mechaniczną Księżyca w polu grawit. Ziemi.
Dynamika bryły sztywnej 1
*13. Talerz twardego dysku o średnicy 3,5 cala uzyskuje prędkość kątową 7200 obr/min w czasie 3 s. Wyznacz przyspieszenie
kątowe talerza w tym czasie (przyjmij, że jest ono stałe). Ile obrotów wykona talerz w tym czasie? Jakie jest przyspieszenie
dośrodkowe i prędkość liniowa punktów na zewnętrznej krawędzi talerza?
*14. Na wierzchołku szorstkiej równi pochyłej spoczywają: kula, sfera, walec, rurka, tarcza i obręcz. W jakiej kolejności stoczą
się te obiekty z równi, jeśli ich masy i promienie są takie same? Jaka bedzie kolejność, jeśli równia byłaby idealnie gładka?
*15. Ziemia o masie MZ = 6 · 1024 kg, porusza po elipsie się wokół Słońca, którego masa MS = 2 · 1030 kg. Jej najmniejsza
i największa odległość od Słońca wynoszą odpowiednio lmin = 1,49 · 1011 m i lmax = 1,51 · 1011 m. Wyznaczyć prędkości
Ziemi przy odległościach od Słońca równych lmin i lmax oraz jej całkowitą energię mechaniczną.
*16. Okres obrotu Słońca wokół własnej osi wynosi obecnie T = 27 dni. Po czasie potrzebnym na spalenie paliwa jądrowego
(∼5 · 109 lat) Słońce zacznie początkowo pęcznieć (jego promień osiągnie wówczas wartość równą średniemu promieniowi
orbity ziemskiej, tj. 1,5 · 1011 m), a następnie kurczyć się pod wpływem grawitacji. Oszacować promień kurczącego się
pod wpływem sił grawitacji Słońca Rx , przy którym zacznie się ono rozpadać. Masa Słońca MS = 2 · 1030 kg, promień
RS = 7 · 108 m.
17. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim
przyspieszeniem opada szpulka?
18. Słońce znajduje się w odległości 2,3 · 104 lat świetlnych od środka Drogi Mlecznej i porusza się wokół tego środka po
okręgu z prędkością 250 km/s. Ile czasu zajmuje Słońcu wykonanie pełnego obiegu? Ile takich obiegów wykonało Słońce
od chwili, gdy powstało około 4,5 · 109 lat temu?
19. Statek kosmiczny pokonuje łuk okręgu o promieniu 3220 km, poruszając się ze stała wartością prędkości 29 000 km/h.
Jaka jest wartość jego: (a) prędkości kątowej, (b) przyspieszenia dośrodkowego, (c) przyspieszenia stycznego?
20. Oblicz: (a) moment siły, (b) energię, (c) średnią moc, jakie byłyby potrzebne, aby w ciągu doby rozpędzić Ziemię od
stanu spoczynku do jej obecnej prędkości kątowej obrotu wokół własnej osi.
Wrocław, 16 XI 2007
W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski