Zjawiska korpuskularno-falowe
Transkrypt
Zjawiska korpuskularno-falowe
Zjawiska korpuskularno-falowe Gustaw Kirchoff (1824-1887) W 1859 rozpoczyna się droga do mechaniki kwantowej od odkrycia linii D w widmie słonecznym Elektron odkryty przez J.J. Thompsona w 1897 (neutron w 1932). Nowe idee były przyjmowane niechętnie Promieniowanie termiczne Podstawowe źródła światła: - ogrzane ciała stałe lub gazy, w których zachodzi wyładowanie elektryczne. Emisja ↔ absorpcja R - widmowa zdolność emisyjna promieniowania R dλ - szybkość z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię z zakresu długości fal λ, λ+dλ. Całkowita zdolność emisyjna promieniowania – szybkość z jaką jednostka powierzchni wypromieniowuje energię: ∞ R = ∫ Rλ dλ (analogia do rozkładu Maxwella dla prędkości!) 0 Własności widma termicznego: - nie zależy ani od rodzaju substancji ani od kształtu, a jedynie od temperatury ciała; - widmo jest ciągłe; - opisane jest dla ciała doskonale czarnego (ciała, którego powierzchnia absorbuje całe promieniowanie termiczne). Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą zgodnie z prawem Stefana-Boltzmana: Idealny absorber aλ =1 eλ =K(λ,T) R = σ⋅T4 gdzie σ = W 5,67 ⋅10 −8 2 4 m K Zauważmy, że maksima natężenia promieniowania dla różnych temperatur przypadają na różne długości fal. Tzn. można to zapisać: λ1T1 = λ2T2= λ3T3=…. Ogólnie λ⋅T = const - prawo Wiena Zastosowanie: pomiar temperatury gwiazd na podstawie analizy widmowej. Mierzymy λ ⇒ λ⋅T = 2,898⋅10-3 [m⋅K] i stąd obliczmy temperaturę gwiazdy. Podejmowano różne próby oparte na fizyce klasycznej, wyjaśnienia rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego. Teoria Wiena: Rλ = c1 1 λ5 e c 2 λT gdzie c1, c2 to stałe wyznaczane doświadczalnie. Pokrywała się ona z wynikami doświadczalnymi jedynie dla małych długości fal. Z kolei teoria Rayleigh’a była zgodna z doświadczeniem tylko dla dużych λ. Dopiero Max Planck (1900) zmodyfikował wzór Wiena: Rλ = c1 λ5 e c 1 2 λT −1 otrzymując pełną zgodność z wynikami doświadczalnymi. Dla krótkich fal czyli małych λ c2 λT >> 1 otrzymujemy wzór Wiena Chcąc zbudować teorię wyjaśniającą otrzymaną zależność założył, że atomy ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne o charakterystycznych częstościach drgań 1. Energia oscylatora jest kwantowana i dana wzorem: E = nhν gdzie n = 1, 2, 3… - liczba kwantowa, h = 6,63⋅10-34 - stała Plancka. 2. Oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, ale kwantowany, tzn. wypromieniowana ilość energii ∆E = hν. 3. Oscylator znajdujący się w stanie stacjonarnym (jeden ze stanów kwantowych) nie emituje ani ni absorbuje energii. Planck wyznaczył wówczas na drodze teoretycznej stałe: c1 = 2π ⋅ c 2 h; c2 = hc k gdzie c – prędkość światła, k – stała Boltzmana. (1918 – nagroda Nobla) Przykład: Klasyczny oscylator o częstotliwości ν = 0,5 Hz i energii E = 0,1 J. E 0,1 = = 3,01 ⋅1032 Liczba kwantowa takiego oscylatora: n = − 34 hν 6,63 ⋅10 ⋅ 0,5 Jeżeli n zmienia się o jedność, to względna zmiana energii oscylatora ∆E 6,63 ⋅10 −34 ⋅ 0,5 = = 3,3 ⋅10 −33 E 0,1 co jest praktycznie niemierzalne, czyli kwantowa natura drgań obiektów makroskopowych jest niewidoczna. W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić wzoru Planck’a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Planck’a oznacza koniec fizyki klasycznej E = hν E = hc/λ E – energia cząstki, ν - częstotliwość, λ-długość fali Promieniowanie należy w pewnych przypadkach traktować jak fale a w innych eksperymentach jako cząstki. To jest dualizm korpuskularno-falowy Zjawisko fotoelektryczne Fotoelektrony wybijane z katody, przyspieszane przez pole elektryczne, tworzą prąd elektryczny, który płynie między katodą a anodą nawet po przyłożeniu przeciwnego potencjału do anody. Natężenie prądu fotoelektrycznego spada do zera przy potencjale anody równym Uh – potencjał (napięcie) hamujące. Ekmax= e⋅ Uh Na wykresie natężenia fotoprądu od przyłożonego napięcia, krzywą b otrzymano przy dwukrotnym zmniejszeniu natężenia światła. Stosowane katody I grupa: Li, Cs, Rb Einstein: światło rozchodzi się w postaci cząsteczek – fotonów, z których każdy unosi kwant energii: E = hν = h c λ A zatem w zjawisku fotoelektrycznym spełniona jest zasada zachowania energii: hν = W + Ek gdzie W – praca wyjścia elektronu, charakterystyczna dla danego metalu katody. Jeżeli Ek = 0 to hν gr = hc λgr =W ⇒ λgr = hc W jest to graniczna długość światła, przy której zachodzi zjawisko fotoelektryczne. Z zasady zachowania energii: h W Uh = ν − e e tgα = h e ⇒ h = e ⋅ tgα Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka. Zjawisko Comptona Jest to drugi efekt wskazujący na korpuskularna naturę światła. Compton (1923) zaobserwował rozproszone promienie X o zmienionej długości fali. Klasyczna teoria fal elektromagnetycznych zjawisko rozproszenia tłumaczyła jako pobudzenie do drgań elektronów ośrodka rozpraszającego, które stają się wtórnym źródłem fal – ale bez zmiany długości ! Według teorii kwantowej zjawisko polega na zderzeniu padającego fotonu z elektronem swobodnym. Podczas zderzenia foton oddaje elektronowi jedynie część energii. Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami) Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotunu γ na quasi-swobodnym elektronie e w metalicznej próbce (folii) γ + e → γ' + e’ Zasada zachowania energii: hc hc + m0 c = + λ λ' 2 m0 c 2 ( c) 1− v 2 Zasada zachowania pędu dla osi OX: h λ = h cos ϕ + λ' foton m0 v ( c) 1− v 2 cos ϕ elektron Zasada zachowania pędu dla osi OY: 0= h sin ϕ − λ' foton m0 v ( c) 1− v 2 sin ϕ elektron Po wyeliminowaniu z równań v oraz ϕ otrzymujemy: ∆λ = λ '−λ = h (1 − cos ϕ ) m0 c W zjawisku Comptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia. Dla ϕ = 00 ∆λ = 0; dla ϕ = 1800 ∆λ = 2 Λ (rozproszenie wsteczne), a dla ϕ = 900 ∆λ = Λ Oba opisy światła: falowy i korpuskularny są poprawne: w pewnych przypadkach promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje się jak fala o określonej długości i częstotliwości, a w innych jak zbiór fotonów o określonym pędzie i zerowej masie spoczynkowej. Przejście od obrazu falowego do korpuskularnego opisują wzory: E = hν p= h λ= λ h mv Dokładniej omówiony ten problem będzie w następnym rozdziale. Model atomu Bohra Postulaty Bohra: I. Atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach stacjonarnych, w których nie promieniuje energii. II. Elektron atomu w stanie stacjonarnym porusza się tylko po takich orbitach kołowych, dla których moment pędu jest skwantowany, spełnia zależność: gdzie n = 1, 2, .. Ln = n h 2π tzn. III. Warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o energii wyższej Ek do stanu o energii niższej Ej : hν = Ek - Ej Skoro elektron porusza się po orbicie kołowej pod wpływem siły kulombowskiej będącej siłą dośrodkową, to z tego warunku można obliczyć prędkość elektronu. Zatem pęd p elektronu i jego moment pędu L można zapisać: me 2 p = mv = 4πε 0 r me 2 r L = pr = 4πε 0 Uwzględniając warunek kwantyzacji momentu pędu otrzymujemy wyrażenia na promień orbity i energię kinetyczną elektronu. h 2ε 0 rn = n πme 2 2 me 4 En = − 8ε 0 h 2 n 2 Czyli promień orbity rośnie jak n2, a energia całkowita rośnie (do zera) jak 1/n2. Jonizacji atomu odpowiada n = ∝. Wówczas całkowita energia atomu E = 0, a r = ∝. Energia atomu w stanie podstawowym n = 1 : E1 = -13,6 eV Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy wzór na częstość linii widmowych atomu wodoru: 1 me 4 1 1 1 ν = 2 3 2 − 2 = R ⋅ c 2 − 2 8ε 0 h j k k j gdzie R jest stałą Rydberga. Przejścia elektronu między kwantowanymi poziomami energetycznymi można przedstawić w postaci tzw. serii widmowych. Linie serii zagęszczają się w kierunku fal krótkich, a każdą serię ogranicza linia odpowiadająca najmniejszej długości fali danej serii. Przykład: Obliczyć długość fali emitowanej przy przejściu elektronu z orbity 3 na 1. E3 − E1 = hν 31 = hc λ31 E E E = − 21 − − 21 = E1 − 1 λ31 3 1 9 hc hc λ31 = 8 E1 9 ⇒ λ31 = 9 hc 8 E1 Hipoteza de Broglie’a 1923 – Ludwik de Broglie – cząsteczki materialne, podobnie jak fale elektromagnetyczne powinny wykazywać cechy falowe. Pęd fotonu pf = Masa fotonu m f = E hν h = = c c λ hν c2 stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o częstotliwości ν= E h i długości λ= h h = p mv Fala materii nie ma nic wspólnego z falą elektromagnetyczną ! Cząstce można przyporządkować grupę fal o różnych ν i określonej prędkości grupowej. Przykłady Fale materii związane z obiektami mikro- i makroskopowymi: Elektron przyspieszony różnicą potencjałów U = 150 [V] uzyskuje prędkość mv 2 = Ue 2 → a zatem λ= h ≈ ~ 10−10 m 2emU v= 2Ue m ≈~ 107 m s Klasyczny obiekt – piłka o pędzie m p = mv = (1kg) 10 s h 6.6 ⋅10−34 J λ= = = 6.6 ⋅10−35 [m] p 10 kg×m s Jak widać w przypadku obiektu makroskopowego, w porównaniu z jego rozmiarami λ ≈ 0 tzn. nie rejestrujemy jego falowej natury. Natomiast jeżeli cząstce można przypisać cechy falowe, to powinny istnieć zjawiska, w których te cechy by się ujawniły – np. interferencja, czy dyfrakcja. Doświadczenie Davissona Germera 1922 – C.J. Davisson i K.H.Germer badali zjawisko rozproszenia wiązki elektronów przechodzącej przez folię monokryształu niklu (umieszczony w punkcie C). Natężenie wiązki odbitej badane jest dla różnych wartości potencjału przyspieszającego V. Prąd kolektora w detektorze (D) jest funkcją energii kinetycznej padających elektronów i wykazuje maksimum dyfrakcyjne dla określonego kąta ϕ odpowiadającego napięciu 54 V. Spełniony jest warunek Bragga λ = 2dsinΘ. Dla warunków przedstawionych na rysunku, obliczona długość fali wynosi: λ = 2.(0.091 nm) sin65° = 0.165 nm Natomiast długość fali obliczona ze wzoru de Broglie’a, dla napięcia przyspieszającego 54 V: λ= h = p h = 2mEk h = 0.165nm 2mUe Zgodność wyników jest doświadczalnym potwierdzeniem hipotezy de Broglie. Ruch elektronów w atomach Ruch elektronów w wiązce emitowanej z katody np.wolframowej nie jest niczym ograniczony. Natomiast w przypadku związania elektronów z atomami, ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii, a na dodatek ruch ten jest kwantowany – energia ich może przyjmować tylko określone wartości. Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić następująco: Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę fal materii: 2πr = nλ ⇒ 2πr = n h p A więc moment pędu: L = rp = n h 2π gdzie n = 1, 2,.. jest to warunek kwantyzacji Bohra ! Zasada nieoznaczoności Heisenberga (1927) Z dyfrakcji światła na szczelinie 1-sze minimum dyfrakcyjne powstaje pod kątem α λ 2 = ∆x sin α 2 λ = ∆x sin α x P0 px Wiązka elektronów cząstek przechodzących przez szczelinę doznaje zmiany pędu ∆px w kierunku równoległym do szczeliny ∆px = p sin α λ = ∆x sin α h = ∆x sin α p h = p sin α ∆x ⇒ h = ∆px ∆x Elektrony (fale) tworzące maksima wyższych rzędów doznają większego odchylenia stąd ∆px ∆x = h ∆px ∆x ≥ h ∆p y ∆y ≥ h ∆pz ∆z ≥ h Iloczyn nieokreśloności pędu i jej położenia w danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka Nieoznaczoność energii i czasu dpdx = mdvdx = m dv dxdt = madxdt = Fdxdt = dEdt dt stąd ∆p∆x = ∆E ∆t ⇒ ∆E ∆t ≥ h Przykład Stan wzbudzenia atomu charakteryzuje energia i czas wzbudzenia . niepewność h 6.63 ⋅10−34 określenia energii: ∆E ≥ = ≈ ~ 6.6 ⋅10 −26 J ≥ 4 ⋅10−7 eV . Dokładność −8 ∆t 10 określenia stanu wzbudzenia atomu jest rzędu 10-7 eV.