Kwantowanie momentu pędu w atomie wodoru

Temat: Kwantowanie momentu pędu w atomie wodoru
-
Mirosław Kwiatek
.Dany atom może mieć różne kształty!
.Elektron może znajdować się nawet w jadrze (choć to mało prawdopodobne)!
.Elektron może poruszać się tylko po promieniu atomu – bez ruchu po orbicie!
Jak wiadomo pierwsza (główna ) liczba kwantowa n (1, 2, 3, …) kwantuje energię E.
Wartości 1-6 mają skróty: K, L, M, N, O, P, Q…
Ale są jeszcze 3 liczby kwantowe do kompletu charakteryzującego jednoznacznie stan
energetyczny w jakim w danej chwili znajduje się atom i … wyobrażalny wygląd atomu.. Te
ostatnie (aż) 3 (z 4) liczby kwantowe mają związek z momentem pędu.
Wg Bohra elektron porusza się zawsze w jednej płaszczyźnie (jak, w przybliżeniu, planety
wokół Słońca) – np. w płaszczyźnie ekranu monitora; Wtedy kierunek wektora momentu
pędu jest prostopadły do ekranu (bowiem moment pędu jest iloczynem wektorowym…). Wg
teorii współczesnej, kwantowej, probabilistycznej, płaszczyzny wirowania mogą się w
przestrzeni zmieniać i to losowo ale tylko na jedną z pewnego zbioru możliwych.
Druga w kolejności wymieniania liczba kwantowa l (0, 1, 2, … n-1) zwana najczęściej
orbitalną (poboczną) kwantuje (tylko) wartość (orbitalnego) momentu pędu L
h
(L =
l(l + 1) )
2
(W pisaniu maszynowym litera l jest podobna niestety do jedynki więc w celu odróżnienia litera będzie pochylana)
Do opisu (stanów atomu wodoru) zamiast pierwszych wartości /cyfr/ l podaje się litery:
0–s
1–p
2–d
3–f
4–g
5–h
6 – i… Pochodzenie liter s, p, d, f ma źródło historyczne, dalej zaś stosujemy kolejność alfabetyczną
Ale L jest wektorem więc jeszcze ma kierunek (i zwrot). I właśnie trzecia wymieniana w
kolejności liczba kwantowa m kwantuje kierunek. Ściślej – kwantuje: rzut wektora L na
dowolnie wybraną (potrzebną w danej chwili) oś w przestrzeni. Tylko rzut kierunku L jest
sensownie rozpatrywać (a nie ten kierunek)!
Gdy mamy tylko jedną (niezerową) wartość liczby l = 1 to możliwości kierunkowych mamy
1 + 2 x 1 = 3. Np. jeśli wybraliśmy (i oznaczyliśmy przez Z) oś leżącą w płaszczyźnie ekranu
i np. jest pionowa to kierunek L może być:
- prostopadły do ekranu
- skośny w górę
- skośny w dół
I ta skośność jest ściśle określona (nie kątem lecz) wartością rzutu – licząc od środka ekranu
– w górę albo w dół; Załóżmy, że naszemu kierunkowi pionowemu nadaliśmy zwrot do góry,
wtedy wartość skosu do góry będzie dodatnia a w dół – ujemna. Rzut (jakby kosinusowy, z
kątem do płaszczyzny ekranu) w górę ma wartość h/2 a w dół wartość ujemną –h/2.
h
Ogólnie:
Lz = m
gdzie tzw. magnetyczna liczba kwantowa m = 0, ±1, ±2, … ±l
2
Dla l = 2 jest: 1 + 2 x 2 = 5 możliwości kierunkowych: zero + para dodatnich + para
h
h
h
h
ujemnych (o wartościach rzutów: 0;
;2 ;;-2 )
2 2 2
2
Dla l = 3 byłoby 1 + 2 x 3 = 7 możliwości kierunkowych: zero, dwie pary dodatnich i dwie
pary ujemnych
Itd.
Dlaczego m nazywa się magnetyczną? Jeśli poruszający się ładunek ma moment pędu to
musi zachowywać się jak prąd kołowy a taki wytwarza (własne) pole magnetyczne.
Na oś rzutowania wybieramy jakąś szczególną np. oś równoległą do kierunku pola
magnetycznego - zewnętrznego albo własnego atomu (utworzonego przez jego wiele
elektronów)
Jednocześnie mogą być ściśle określone: wartość (całkowita) L i tylko jeden rzut momentu pędu (tak mówi
teoria i doświadczenie), na jedną z osi. W przestrzeni wyróżnilibyśmy jeszcze 2 osie X i Y prostopadłe do Z (i
do siebie nawzajem) ale jeśli już (raz) ustaliliśmy, że wybrana oś jest osią Z to pozostałe 2 rzuty będą
nieokreślone.
Elektron dodatkowo wiruje wokół swojej osi. Ma więc moment pędu własny czyli spin S
(kręt). A wirujący ładunek elektryczny wytwarza własne pole magnetyczne (ładunek ma
moment magnetyczny). Stąd w nazwie następnej z wymienianych w kolejności liczb
kwantowych jest określenie „magnetyczna” też. Jest to magnetyczna liczba spinowa mS.
1
1
Liczba ta może przyjmować tylko 2 wartości: 2 albo ujemna: - 2
Wartość spinu elektronu jest stałą więc nie trzeba jej podawać ale podać trzeba informację o
kierunku wektora S. I znowu jest sensownie operować tylko rzutem spinu na wybraną oś
h
S Z = mS
2
Spin jest własnością nierozerwalnie związaną z elektronem jak masa czy ładunek
3 h
S= 2
(…)
2
Jakościowo (‘astronomicznie’) można by wyobrazić sobie elektron jako wirującą kulkę ale
ilościowo dałoby się wyliczyć, że aby jego spin miał wartość powyższą to elektron powinien
obracać się z prędkością liniową na równiku większą (i to znacznie!) od c.
Co się może kręcić w fali materii jaką jest elektron? Można wiązać spin z polaryzacją (tzw
kołową) tej fali (pamiętając, ze fala materii nie jest falą elektromagnetyczną). Polaryzacja
kołowa fali elektromagnetycznej (np. światła) może być lewo- lub prawoskrętna. Dla spinu
1
1
mielibyśmy więc kierunek „w górę” (mS = 2 ) albo „w dół” (mS = -2 )
W polaryzacji kołowej, w odróżnieniu od liniowej, wektory E i B nie wykonują drgań lecz
ruch kołowy. Polaryzacja prawoskrętna jest wtedy gdy patrzymy w kierunku przeciwnym do
ruchu fali i widzimy obracający się wektor E zgodnie ze wskazówkami zegara.
Fala spolaryzowana kołowo może powstać przez złożenie 2 fal spolaryzowanych liniowo, o
jednakowej częstotliwości. W ten sposób, że drgania wektorów E tych fal są prostopadłe do
siebie i przesunięte w fazie o /2
Jest to analogia do fal mechanicznych; Punkt pobudzony jednocześnie do dwóch drgań o
jednakowej częstotliwości, prostopadłych i przesuniętych w fazie o /2 porusza się po okręgu.
Podobna sytuacja jest w przypadku wirującego pola w silniku elektrycznym.
Da się zauważyć, że mechanika kwantowa dopuszcza zerowy moment pędu (gdy l = 0) W
mechanice klasycznej elektron spadłby na jądro a w mechanice kwantowej l = 0 oznacza to
tzw. radialny ruch elektronu czyli ruch bez obrotu na orbicie – kształt „toru” podobny jest do
ostrej rozety!
Jak wygląda atom? To pytanie musi być brane w cudzysłów bo atomu się nie zobaczy.
Możemy tylko sobie go wizualizować. Ale też wizualizacja zależy od wartości 4 liczb
kwantowych w danej chwili a zestaw takich liczb jest praktycznie losowy (w ramach
dozwolonych wartości bo liczby kwantowe są ze sobą powiązane) Więc nawet atom
najprostszego atomu wodoru może mieć wiele rozmaitych kształtów (i rozmiarów!)
Możemy sobie wyobrazić tylko rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
przestrzeni. Obraz atomu jest wtedy jak gdyby rozmyty; Jest to jakby chmura
prawdopodobieństwa
Można też rozpatrywać
powierzchnię tylko jednakowego prawdopodobieństwa,
wybranego, oczywiście bardzo wysokiego, np. zbliżonego do 90%. Wtedy nie ma rozmycia
(Kształt atomu jest jakby obwiednią najbardziej prawdopodobnych torów ruchu elektronu).
Ale wtedy trzeba też dodatkowo rozpatrywać (narysować) powierzchnie zerowego
prawdopodobieństwa znalezienia elektronu, tzw. powierzchnie nodalne będące płaszczyznami
czy stożkami.
Kształty atomów (nazywane obitalami) są bardzo atrakcyjne wizualnie (np. ‘kombinacyjne
ułożenie’ w zestawy „kształtów kroplowych”) ale trudno je oczywiście naszkicować. Dlatego
zacznijmy od wizualizacji na płaszczyźnie. (powstają one z rozwiązywania tzw. równań Schrodingera
funkcji falowych) Dla l = 0 będziemy mieli do czynienia tylko z radialnymi rozkładami gęstości
prawdopodobieństwa. Kształt tych rozkładów zależy od wartości liczby kwantowej n
(głównej); Im wyższa wartość n tym bardziej złożony wykres rozkładu prawdopodobieństwa.
Zawsze krzywa będzie miała maksima – tyle ile wynosi wartość n. Dla n = 1 maksimum
prawdopodobieństwa występuje dla odległości od jądra obliczonej przez Bohra jako promień
najbliższej jądru orbity
Zawsze jedno z tych maksimów jest głównym (wysokim), które zawsze jest najbardziej
oddalone od jądra + maksima główne maleją ze wzrostem liczby n + maksima wzrastają gdy
rośnie ich odległość od jądra.
Atom staje się tym większy im więcej ma maksimów (Atom ma większe rozmiary w
wyższych, wzbudzonych energetycznie stanach kwantowych)
Charakterystyczne jest też występowanie między maksimami miejsc zerowych czyli
elektronu na pewno w tych miejscach nie będzie nigdy
Elektron może się też znajdować między pierwszą dozwoloną orbitą Bohra a jądrem; Nawet
istnieje bardzo małe ale niezerowe prawdopodobieństwo napotkania elektronu w jądrze (oraz
w b. dużej, nawet makroskopowej, odległości od niego; dopiero w nieskończoności
prawdopodobieństwo to się zeruje)
2007-07-15/16