Wykład nr 13 (Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa

Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła
13
13–1
Równanie struny drgającej. Równanie
przewodnictwa ciepła.
13.1
Równanie struny drgającej
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu hiperbolicznego
(RS)
utt − uxx = 0
nazywamy równaniem struny drgającej.
Rozważmy zagadnienie początkowe dla równania struny drgającej:
(RS-ZP)



utt
− uxx = 0
u=g



ut = h
w (0, ∞) × R
na {0} × R
na {0} × R,
gdzie g, h : R → R są zadanymi funkcjami.
Niech ϕ = ϕ(t, x) będzie rozwiązaniem zagadnienia (RS-ZP). Zauważmy, że
można zapisać
(13.1)
∂
∂
+
∂t ∂x
!
!
∂
∂
−
ϕ = ϕtt − ϕxx = 0.
∂t ∂x
Połóżmy
(13.2)
ψ(t, x) :=
!
∂
∂
−
ϕ(t, x).
∂t ∂x
Funkcja ψ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego dla liniowego
jednorodnego równania transportu
(13.3)

v
+ vx = 0
w (0, ∞) × R
v(0, x) = a(x) dla x ∈ R,
t
gdzie a(x) := v(0, x). Zgodnie ze wzorem (11.5) mamy
(13.4)
ψ(t, x) = a(x − t),
t ­ 0, x ∈ R.
Na podstawie (13.1), (13.2) i (13.4), funkcja ϕ spełnia liniowe
niejednorodne równanie transportu
ut − ux = a(x − t) w (0, ∞) × R.
13–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Zgodnie ze wzorem (11.6) mamy
(13.5) ϕ(t, x) =
Zt
0
x+t
1 Z
a(x + (t − s) − s) ds + b(x + t) =
a(y) dy + b(x + t),
2
x−t
gdzie b(x) := ϕ(0, x).
Wyliczmy teraz a i b. Oczywiście b(x) = g(x), natomiast z drugiego
warunku początkowego i wzoru (13.2) wynika, że
a(x) = ψ(0, x) = ϕt (0, x) − ϕx (0, x) = h(x) − g 0(x),
x ∈ R.
Zatem, podstawiając powyższe do (13.5) otrzymujemy
1
ϕ(t, x) =
2
x+t
Z
(h(y) − g 0(y)) dy + g(x + t),
x−t
czyli
(d’A)
1
1
ϕ(t, x) = (g(x + t) − g(x − t)) +
2
2
x+t
Z
h(y) dy
x−t
dla t ­ 0 i x ∈ R. Wzór (d’A) nazywamy wzorem d’Alemberta 1 .
Zachodzi poniższe twierdzenie (którego dowód uzyskujemy przeprowadzając
bezpośredni rachunek).
Twierdzenie 13.1. Załóżmy, że g : R → R jest klasy C 2 i h : R → R jest
klasy C 1 . Wówczas funkcja ϕ : [0, ∞) × R → R określona wzorem
d’Alemberta (d’A) ma następujące własności:
(i) ϕ jest klasy C 2 na [0, ∞) × R;
(ii) ϕtt (t, x) − ϕxx (t, x) = 0 dla każdego (t, x) ∈ (0, ∞) × R;
(iii)
lim
(t,x)→(0,x0 )
t>0
ϕ(t, x) = g(x0 )
oraz
lim
(t,x)→(0,x0 )
t>0
ϕt (t, x) = h(x0 )
dla każdego x0 ∈ R.
1
Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783), matematyk, fizyk i filozof francuski
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła
13.2
13–3
Równanie przewodnictwa ciepła
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu parabolicznego
(RC)
ut = uxx
nazywamy jednowymiarowym równaniem przewodnictwa ciepła.
Rozważmy następujące zagadnienie brzegowo-początkowe dla
jednowymiarowego równania przewodnictwa ciepła



ut
= uxx
u(t, 0) = u(t, π) = 0



u(0, x) = u0 (x)
(RC-ZBP)
w (0, ∞) × (0, π)
dla t > 0
dla x ∈ (0, π),
gdzie u0 : (0, π) → R jest zadaną funkcją.
Warunek
u(t, 0) = u(t, π) = 0 dla t > 0
nazywamy warunkiem brzegowym typu Dirichleta 2 . Niekiedy zakładamy
też, w miejsce warunku Dirichleta, innego typu warunki brzegowe, na
przykład warunek brzegowy typu Neumanna 3 :
ux (t, 0) = ux (t, π) = 0 dla t > 0,
lub okresowy warunek brzegowy:
u(t, 0) = u(t, π) oraz ux (t, 0) = ux (t, π) dla t > 0.
Warunek
u(0, x) = u0 (x) dla x ∈ (0, π)
nazywamy warunkiem początkowym.
Przejdziemy teraz do metody szukania rozwiązań jednowymiarowego
równania przewodnictwa cieplnego, zwanej metodą rozdzielania zmiennych.
Szukamy mianowicie rozwiązania zagadnienia
(13.6)
2

u
t
= uxx
= u(t, π) = 0
u(t, 0)
w (0, ∞) × (0, π)
dla t > 0
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), matematyk niemiecki
Carl Neumann (1832 – 1925), matematyk niemiecki (nie mylić z Johnem von Neumannem (1903 – 1957), matematykiem amerykańskim pochodzenia węgierskiego!)
3
13–4
Skompilował Janusz Mierczyński
w postaci u(t, x) = T (t)X(x). Rzecz jasna, interesują nas funkcje nierówne
tożsamościowo zeru.
Z równania (RC) otrzymujemy zatem
d2 X
dT
X=T 2,
dt
dx
czyli
dT
dt
d2 X
dx2
=
.
T
X
Ponieważ lewa strona zależy tylko od t, zaś prawa strona zależy tylko od x,
równość powyższa może być spełniona tylko wtedy, gdy funkcje po obu
stronach są stałymi.
Jeśli chodzi o funkcję T = T (t), to dla dowolnej stałej rzeczywistej k
istnieją nietrywialne rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego
liniowego pierwszego rzędu
dT
= kT,
dt
a mianowicie funkcje T (t) = aekt , gdzie a 6= 0.
Funkcja X = X(x) musi spełniać równanie różniczkowe zwyczajne liniowe
drugiego rzędu
d2 X
− kX = 0.
dx2
Ponadto, z warunków brzegowych typu Dirichleta wynika, że musi
zachodzić X(0) = X(π) = 0.
Z teorii równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu o stałych
współczynnikach (Wykład nr 8) wynika, że zagadnienie brzegowe
 2

d X
2
dx

X(0)
− kX = 0
na (0, π)
= X(π) = 0
ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
k = −n2 ,
n = 1, 2, 3, . . . .
Rozwiązanie takie jest postaci stała niezerowa razy sin (nx).
Znaleźliśmy więc przeliczalnie wiele rozwiązań zagadnienia
brzegowego (13.6):
2
ϕn (t, x) := e−n t sin (nx),
n = 1, 2, 3, . . . .
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła
13–5
Zauważmy, że nie uwzględniliśmy jeszcze warunku początkowego
(13.7)
u(0, x) = u0 (x) = 0 dla x ∈ (0, π).
Będziemy szukali rozwiązania zagadnienia brzegowo-początkowego
(RC-ZBP) w postaci szeregu
(13.8)
ϕ(t, x) =
∞
X
cn ϕn (t, x) =
n=1
∞
X
2
cn e−n t sin (nx)
n=1
(na razie nie zajmujemy się zagadnieniem, w jakim sensie powyższy szereg
jest zbieżny). Podstawiając warunek początkowy (13.7) do powyższego
wzoru otrzymujemy
u0 (x) =
∞
X
cn sin (nx),
x ∈ (0, π),
n=1
czyli cn powinny być współczynnikami szeregu sinusów funkcji u0 , to znaczy
π
2Z
u0(x) sin (nx) dx,
cn =
π
n = 1, 2, 3, . . .
0
Załóżmy teraz, że funkcja u0 jest elementem przestrzeni Hilberta L2 ((0, π)),
czyli że
Zπ
|u0(x)|2 dx < ∞.
0
Jest to równoważne
∞
X
|cn |2 < ∞.
n=1
Przy powyższym założeniu, z własności szeregów Fouriera wynika, że
funkcja ϕ określona wzorem (13.8) ma następujące własności:
• ϕ jest ciągła na (0, ∞) × [0, π];
• ϕ jest jednokrotnie różniczkowalna względem t i dwukrotnie
różniczkowalna względem x na (0, ∞) × (0, π);
• ϕ spełnia równanie różniczkowe na (0, ∞) × (0, π);
• ϕ spełnia warunek brzegowy dla t > 0.
13–6
Skompilował Janusz Mierczyński
Jeśli natomiast chodzi o spełnienie warunku początkowego (13.7), to
zachodzi następująca równość:
lim
t→0+
Zπ
|ϕ(t, x) − u0 (x)|2 dx = 0,
0
co oznacza, że ϕ(t, ·) dąży, przy t → 0+ , w normie L2 ((0, π)) do u0 .
Uzasadnienie metody rozdzielania zmiennych dla równania przewodnictwa
ciepła dało początek (w I połowie XIX wieku) teorii szeregów Fouriera.
W XX wieku, badania równania przewodnictwa ciepła były znaczącym
impulsem do rozwoju teorii półgrup operatorów liniowych, czy teorii
przestrzeni Sobolewa 4 .
4
Siergiej Lwowicz Sobolew (1908 – 1989), matematyk rosyjski