Lista zadań nr 9 dla kursu z Równań Różniczkowych Cząstkowych

Lista zadań nr 9
dla kursu z Równań Różniczkowych Cząstkowych (MAP 1812)
Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Matematyka, II stopień
rok akademicki 2013/14, semestr zimowy
8 stycznia 2014 r.
W zadaniach 9.1 i 9.2 rozpatrujemy jednowymiarowe równanie falowe
utt − c2 uxx = 0,
x ∈ R, t > 0
z warunkami początkowymi
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x).
9.1. Wykazać dla jednowymiarowego równania falowego, że jeśli istnieje l > 0
takie, że f i g są równe zeru poza przedziałem [−l, l], to dla każdego x ∈ R
można znaleźć takie T = T (x) > 0 i U = U (x), że u(x, t) = U (x) dla
wszystkich t > T (x). Znaleźć te T (x) i U (x).
Funkcją Heaviside’a nazywamy funkcję
(
0
H(x) =
1
dla x < 0
.
dla x ­ 0
9.2 Znaleźć rozwiązanie jednowymiarowego równania falowego dla następujących warunków początkowych:
(a)
(
cos x
f (x) =
0
gdy |x| ¬
gdy |x| >
π
2
π
2
g(x) ≡ 0.
,
(b)
f (x) = H(x),
g(x) ≡ 0.
(c)
f (x) ≡ 0,
g(x) = H(x).
We wszystkich przykładach zastosować wzór d’Alemberta (pomimo tego,
że warunki początkowe nie są tak regularne jak powinny). Przeanalizować, dla jakich punktów równanie różniczkowe jest spełnione (w sensie
klasycznym).
9.3 Korzystając ze wzoru Kirchhoffa znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego dla trójwymiarowego równania falowego
utt − ∆x u,
x ∈ R3 , t > 0,
spełniające warunki początkowe
u(x, 0) = |x|2 ,
ut (x, 0) = x3 ,
1
x ∈ R3 .
9.3 Równaniem struny drgającej nazywamy jednowymiarowe równanie utt −
c2 uxx = 0, gdzie c > 0, x należy do ograniczonego przedziału otwartego, a
t > 0. Równanie struny drgającej rozpatruje się z warunkami brzegowymi
Dirichleta, Neumanna, lub innego typu.
Przy pomocy metody rozdzielania zmiennych znaleźć wzór na rozwiązanie zagadnienia brzegowo-początkowego

2

utt − c uxx = 0, x ∈ (0, π), t > 0,



u(0, t) = 0,
t > 0,

u(π, t) = 0,
t > 0,



u(x, 0) = f (x),
x ∈ (0, π),



u(x, 0) = g(x),
x ∈ (0, π).
Trochę poezji. Jak zauważył Fitz John1 , Szekspir w swym Henryku VI wspomniał o zanikaniu rozwiązań dwuwymiarowego równania falowego:
Glory is like a circle in the water
Which never ceaseth to enlarge itself
Till by broad spreading it disperse to nought.
(„eth” to dawna końcówka trzeciej osoby liczby pojedynczej czasu teraźniejszego, zaś „it disperse” to nie błąd gramatyczny, lecz przykład użycia trybu
łączącego (ang. Subjunctive Mood))
1 Fritz
John (1910 – 1994), matematyk amerykański pochodzenia niemieckiego
2