Wykład 5
Transkrypt
Wykład 5
Wykład 5 Wiadomości wstępne Łuk (zwykły) na płaszczyźnie (krótko: łuk) jest to zbiór wszystkich punktów (x, y) o współrzędnych x = x(t), y = y(t), gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi, określonymi na przedziale hα; βi; bez punktów wielokrotnych tzn. dla różnych wartości parametru t ∈ (α; β) otrzymujemy różne punkty na łuku. Układ: x = x(t) , y = y(t), t ∈ hα; βi – przedstawienie parametryczne łuku. Punkty A(x(α), y(α)) i B(x(β), y(β)) – końce łuku. Łuk jest otwarty, jeżeli A 6= B. Łuk jest zamknięty (in. jest krzywą zamkniętą, krzywą Jordana), jeżeli A = B. Łuk gładki – taki łuk, dla którego pochodne x0 (t) i y 0 (t) są ciągłe na przedziale hα; βi oraz nie są w żadnym punkcie tego przedziału jednocześnie równe 0. Łuk kawałkami gładki jest to skończona suma łuków gładkich. d lub na odwrót (BA). d Łuk, któremu nadano Łukowi można nadać kierunek od A do B (ozn.AB) kierunek, nazywamy łukiem skierowanym. Definicja 1. Przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku przedstawienie parametryczne i kierunek łuku są niezgodne. Uwaga 1. Jeżeli przedstawienie parametryczne x = x(t), y = y(t), t ∈ hα ; βi jest niezgodne z nadanym mu kierunkiem, to przedstawienie x = x(−t) , y = y(−t) , t ∈ h−β , −αi będzie z tym kierunkiem zgodne. Obszar w R2 nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest ”bez dziur”. Niech D będzie obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych, a krzywa Jordana K jego brzegiem. Jeżeli kierunek na krzywej K jest określony tak, że poruszając się po K obszar D jest po lewej stronie, to krzywa K jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D. W przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza D. Całka krzywoliniowa skierowana w R2 d – łuk zwykły skierowany o przedstawieniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t ∈ Niech AB hα ; βi zgodnym z kierunkiem tego łuku oraz para uporządkowana [P (x, y); Q(x, y)] funkcji określonych na tym łuku. Analiza 2 (ANAL2) dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015 Niech n ∈ N – ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział hα ; βi na n części punktami: α = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = β. Odpowiadają temu punkty na łuku: A0 , A1 , . . . An , gdzie Ak = (x(tk ), y(tk )) , k = 1, . . . n. W przedziale htk−1 ; tk i , k = 1, . . . , n wybieramy dowolnie punkt τk . Tworzymy sumę Sn = n X (P (x(τk ), y(τk )) · (x(tk ) − x(tk−1 )) + Q(x(τk ), y(τk )) · (y(tk ) − y(tk−1 ))) k=1 Definicja 2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału hα ; βi ciąg (Sn ) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów τk , to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji [P (x, y); Q(x, y)] po łuku d i oznaczamy AB Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy c AB − ozn −−−−→ ozn → Przy oznaczeniach [P (x, y); Q(x, y)] = R(x, y) oraz [dx, dy] = dl : Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −−−−→ → − R(x, y) ◦ dl Z c AB c AB Uwaga 2. Własności całki 1. Z Z −−−−→ → −−−−→ → − − R(x, y) ◦ dl = − R(x, y) ◦ dl , c BA c AB 2. 3. Z Z −−−−→ → −−−−→ → − − k · R(x, y) ◦ dl = k · R(x, y) ◦ dl , k ∈ R, c AB c AB Z Z Z −−−−−→ → −−−−−→ → −−−−−→ −−−−−→ → − − − R1 (x, y) ◦ dl + R2 (x, y) ◦ dl R1 (x, y) + R2 (x, y) ◦ dl = c AB c AB c AB Jeżeli całkę krzywoliniową obliczamy po łuku zamkniętym K, to zamiast symbolu symbolu I Z używamy c AB (zaznaczając ew. strzałką na kółeczku skierowanie krzywej). K Twierdzenie 1. (o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną) d o parametryzacji x = x(t), y = y(t), Jeżeli funkcje P (x, y) , Q(x, y) są ciągłe na łuku gładkim AB t ∈ hα; βi zgodnej z kierunkiem tego łuku, to Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = c AB Zβ (P (x(t), y(t)) · x0 (t) + Q(x(t), y(t)) · y 0 (t))dt α Uwaga 3. Wartość całki krzywoliniowej skierowanej zależy (na ogół) od kształtu drogi całkowania. Analiza 2 (ANAL2) dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015 Uwaga 4. Jeżeli krzywa K = n X Ki jest sumą otwartych łuków gładkich, to całką skierowaną i=1 pary funkcji [P (x, y); Q(x, y)] po łuku K określamy jako Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Z n X i=1 K P (x, y)dx + Q(x, y)dy Ki Uwaga 5. Prawdziwy jest wzór Z K P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − Z P (x, y)dx + Q(x, y)dy, −K gdzie −K oznacza krzywą różniącą się od K kierunkiem. Uwaga 6. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną pozostaje prawdziwe dla krzywych zamkniętych. Analiza 2 (ANAL2) dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015