Prawa Iterowanego Logarytmu dla procesu Wienera LIL dla procesu

Prawa Iterowanego Logarytmu dla procesu Wienera LIL dla procesu

Prawa Iterowanego Logarytmu dla procesu Wienera
LIL dla procesu Wienera
Procesy Stochastyczne, wykład 4, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1136
5 Marzec, 2012
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
Tw. 5 [Prawa Iterowanego Logarytmu]
1. Lokalne Prawo Iterowanego Logarytmu
Niech Wt będzie procesem Wienera. Dla każdego ustalonego s ≥ 0
z prawd. 1 zachodzi
p
lim supt→0 (Ws+t − Ws )/ 2t ln ln(1/t) = 1,
p
lim inf t→0 (Ws+t − Ws )/ 2t ln ln(1/t) = −1,
p
lim supt→0 |Ws+t − Ws |/ 2t ln ln(1/t) = 1.
p
Funkcja g (t) = 2t ln ln(1/t) jest określona dla t < 1/e.
2. Asymptotyczne Prawo Iterowanego Logarytmu
Z prawd. 1 zachodzi
√
lim supt→∞ Wt / 2t ln ln t = 1,
√
lim inf t→∞ Wt / 2t ln ln t = −1,
√
lim supt→∞ |Wt |/ 2t ln ln t = 1.
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
Odwracanie czasu
Lemat
Niech Wt będzie procesem Wienera. Definiujemy proces
Wt0 = tW1/t ,
t > 0,
W00 =
0.
Wt0 jest też procesem Wienera.
Dowód
Wt0 - gaussowski, z prawd. 1 ciągłe trajektorie na (0, ∞).
dla s > 0, t > 0 zachodzi
EWt0 Ws0 = stEW1/t W1/s = st min (1/s, 1/t) = min (s, t).
Równość zachodzi też dla s = 0 lub t = 0.
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
Wt0 - ośrodkowy na (0, ∞) (z prawd. 1 ciągłe trajektorie);
dodając {0} do zbioru ośrodkowości i W00 = 0 mamy Wt0 ośrodkowy na [0, ∞);
z Tw. 4 Wt0 ma ciągłe trajektorie więc jest procesem Wienera.
Dowód Tw. 5
Wystarczy udowodnić lokalne LIL w 0: Yt = Ws+t − Ws jest
procesem Wienera; stosując lokalne LIL w 0 do Yt mamy LIL
w punkcie s dla Wt ;
Lokalne LIL wynika z asymptotycznego (i na odwrót) przez
odwrócenie czasu, druga relacja w LIL wynika z pierwszej:
(−Wt ) jest też proc. Wienera, trzecia relacja wynika z dwu
pierwszych.
Wystarczy więc pokazać, że z prawd. 1 zachodzi
p
lim sup Wt / 2t ln ln(1/t) = 1.
t→0
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
1. Oszacowanie z góry
Dla dow. c > 1, z prawd. 1, lim supt→0 Wt /g (t) ≤ c
p
g (t) = 2t ln ln(1/t), 0 < t < 1/e.
Dowód oszacowania z góry:
Dla c > 1 oraz q, 0 < q < 1 definiujemy tn = q n oraz
An = {Wt > cg (t) dla pewn. t ∈ [tn+1 , tn ]}
Wystarczy pokazać, że P(An niesk. wiele razy) = 0.
An ⊂ {Mtn > cg (tn+1 )}, bo g (t) - rosnąca dla małych t > 0,
√
√
P(Mtn > ε tn ) ≤ 2P(Wtn > ε tn ) =
r Z
r
2 ∞ −v 2 /2
2 −ε2 /2
e
dv ≤
e
/ε,
π ε
π
√
dla
p dow. ε > 0. Biorąc ε = εn = cg (tn+1 )/ tn =
c 2q ln{(n +P
1) ln(1/q)} otrzymujemy
P
2
P(A
)
≤
n
n
n P(Mtn > cg (tn+1 )) < ∞, gdy cq > 1.
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
1. Oszacowanie z góry cd.
Rzeczywiście, tak jak i powyżej, korzystając z oszacowania
maksimum proc. Wienera (Tw. 3), otrzymujemy
P(Mtn > c g (tn+1 )) ≤ 2P(Wtn > c g (tn+1 )) ≤
(n +
a(c, q)
p
ln (n + 1)
1)c 2 q
Ponieważ c > 1 więc wybierając 0 < q < 1 takie, że c 2 q > 1
otrzymujemy zbieżność szeregu, a zatem na mocy pierwszej części
Lematu Borella-Cantelliego, P(An niesk. wiele razy) = 0. To
kończy dowód oszacowania z góry.
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
2. Oszacowanie od dołu
Dla dow. 0 < c 0 < 1, z prawd. 1,
lim supt→0 Wt /g (t) ≥ c 0
Dowód oszacowania z dołu:
Wystarczy pokazać, że
P(Wtn > c 0 g (tn ) niesk. wiele razy) = 1, dla zadanego
(dowolnego) c 0 < 1 oraz pewnego q ∈ (0, 1).
Niech Yn = Wtn − Wtn+1 . Yn ma rozkład N(0, tn − tn+1 ) więc
dla ε > 0
Z ∞
2
√
1
e −ε /2
−v 2 /2
e
dv ≈ √ .
P(Yn > ε tn − tn+1 ) = √
2π ε
ε 2π
p
√
Kładziemy ε = εn = c1 g (tn )/ tn = c1 2 ln(n ln(1/q)), gdzie
c1 < 1 takie, że 0 < c 0 < c1 . Wtedy
pn = P(Yn > c1 (1 − q)1/2 g (tn )) ≈ ac12(c,q)
,
√
n 1 ln n
P
a1 (c, q) - niezależne od n. Zachodzi n pn = ∞ (c12 < 1).
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
2. Oszacowanie od dołu cd.
Yn - niezależne więc z Lematu Borella-Cantelliego
P(Yn > c1 (1 − q)1/2 g (tn ) niesk. wiele razy) = 1
Stosujemy oszacowanie z góry dla c = 2 oraz proc. Wienera
(−Wt ) i otrzymujemy z prawd. 1
−Wtn+1 < 2g (tn+1 )
za wyj. skończonej il. n,
więc
Wtn+1 > −2
g (tn+1 )
g (tn )
g (tn )
dla dost. dużych n.
Stąd, z prawd. 1
Wtn = Yn +Wtn+1 ≥ (c1 (1−q)1/2 −2
g (tn+1 )
)g (tn )
g (tn )
niesk. w. r.;
ponadto g (tn+1 )/g (tn ) → q 1/2 . Stąd, z prawd. 1
Wtn ≥ (c1 (1 − q)1/2 − 4q 1/2 )g (tn )
niesk. wiele r.;
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera
2. Oszacowanie od dołu cd.
Ponieważ c1 (1 − q)1/2 − 4q 1/2 → c1 > c 0 , gdy q → 0 więc
wybierając dostatecznie małe q ∈ (0, 1) otrzymujemy z prawd.1
Wtn ≥ c 0 g (tn )
niesk. wiele razy.
To już kończy dowód oszacowania z dołu.
Prawa Iterowanego Logarytmu (LIL) dla procesu Wienera