zestaw nr 25.
Transkrypt
zestaw nr 25.
25.Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego. Definicja 1. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech B ⊂ F będzie takie, że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A ⊂ F , pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy prawdopodobieństwo: P (A | B) = P (A ∩ B) P (B) Przykład 1. Rodzina ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród dzieci są same dziewczynki jeżeli wiemy, że przynajmniej jedno dziecko jest dziewczynką? Ω = {(d, d), (c, c), (d, c), (c, d)} A = {(d, d)} B = {(d, d), (c, d), (d, c)} Wtedy: P (A | B) = P (A ∩ B) = P (B) card(A∩B) card(Ω) card(B) card(Ω) = 1 card(A ∩ B) = card(B) 3 Twierdzenie 1 (wzór łańcuchowy). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech A1 , A2 , . . . , An ⊂ F będą takie, że P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0. Zachodzi wtedy wzór: P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 | A1 ) · P (A3 | (A1 ∩ A2 )) · . . . · P (An | (A1 ∩ . . . ∩ An−1 )) Jest to tak zwany wzór łańcuchowy. Definicja 2. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Powiemy, że zdarzenia B1 , . . . , Bn stanowią Sn rozbicie przestrzeni Ω, gdy są one parami rozłączne (Bi ∩ Bj = ∅ dla każdego i 6= j) oraz i=1 Bi = Ω Twierdzenie 2 (prawdopodobieństwo całkowite). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, B1 , . . . , Bn ⊂ F stanowią rozbicie przestrzeni Ω oraz P (Bi ) > 0 dla każdego i = 1, . . . , n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia A ⊂ F zachodzi wzór: P (A) = n X P (A | Bi ) · P (Bi ) i=1 Powyższy wzór jest wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. Przykład 2. Mamy 3 urny. W pierwszej jedną czarną kulę i jedną białą, w drugiej dwie czarne a w trzeciej dwie białe. Z losowo wybranej urny losuję jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula czarna? B1 - losujemy z pierwszej urny B2 - losujemy z drugiej urny B3 - losujemy z trzeciej urny A - wylosujemy kulę czarną P (Bi ) = 31 dla każdego i = 1, 2, 3 P (A | B1 ) = 12 P (A | B2 ) = 1 P (A | B3 ) = 0 Zatem: P 3 P (A) = i=1 P (A | Bi ) · P (Bi ) = 1 2 · 1 3 +1· 1 3 +0· 1 1 3 = 1 2 Twierdzenie o prawdopodobieństwie można zilustrować za pomocą tzw. drzewa stochastycznego. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite to suma iloczynów po wszystkich drogach, które kończą się w A. Drzewo stochastyczne zaczyna się początkiem, w węzłach drzewa umieszczamy wyniki kolejnych etapów doświadczenia. Węzły łączymy krawędziami. Obok każdej krawędzi dopisujemy prawdopodobieństwo otrzymania wyniku danego etapu. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego węzła jest równa 1. Twierdzenie 3 (wzór Bayesa). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, B1 , . . . , Bn ⊂ F stanowią rozbicie przestrzeni Ω oraz P (Bi ) > 0 dla każdego i = 1, . . . , n. Wtedy dla dowolnego zdarzenia A ⊂ F takiego, że P (A) > 0 oraz i = 1, . . . , n zachodzi wzór: P (Bi | A) = P (A | Bi ) · P (Bi ) P (A) Jest to wzór Bayesa. Twierdzenie Bayesa stosujemy głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Przykład 3. Ciąg dalszy poprzedniego przykładu. Załóżmy, że wylosowaliśmy kulę czarną. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze losowaliśmy z drugiej urny? P (B2 | A) = 1· 1 2 P (A | B2 ) · P (B2 ) = 13 = P (A) 3 2 Definicja 3 (niezależność dwóch zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, A, B ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Przykład 4. Rzucamy dwa razy monetą. Zdarzenie A polega na wylosowaniu jednego orła i jednej reszki. Zdarzenie B polega na wylosowaniu za drugim razem orła. Wtedy: Ω = {(o, o), (r, o), (o, r), (r, r)} A = {(o, r), (r, o)} B = {(o, o), (r, o)} P (A) = P (B) = 12 Zatem: P (A ∩ B) = 41 = 12 · 12 = P (A) · P (B) Definicja 4 (niezależność skończonej liczby zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, A1 , . . . , An ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy k Y ∀1≤i1 ≤i2 ≤...≤ik ≤n P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ail ) l=1 2 Definicja 5 (niezależność nieskończonej liczby zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, A1 , A2 . . . ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A1 , A2 . . . są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ∈ N A1 , . . . , An są niezależne. Twierdzenie 4 (własności zdarzeń niezależnych). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, wtedy: 1. Jeżeli A, B ⊂ F oraz A, B niezależne, to zdarzenia A, B 0 ; A0 , B; A0 , B 0 są niezależne. 2. Jeżeli A, B, C ⊂ F oraz A, B, C są niezależne, to A, B ∪ C niezależne. Definicja 6. Ciąg n niezależnych doświadczeń, takich samych i kończących się jednym z dwóch wyników (sukces lub porażka) nazywamy ciągiem prób Bernoulliego. Twierdzenie 5 (schemat Bernoulliego). Jeżeli przeprowadzimy n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedyńczej próbie równym p ∈ (0, 1) i prawdopodobieństwem porażki równym q = 1 − p, to prawdopodobieństwo k sukcesów, 0 ≤ k ≤ n, liczymy ze wzoru: n k n−k Pn (k) = p q k Przykład 5. Biatonista trafia do celu z prawdopodobieństwem 53 . Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi 4 z 5 tarcz w pojedyńczym strzale? Prawdopodobieństwo sukcesu: p = 35 Prawdopodobieństwo porażki: q = 1 − p = 1 − 35 = 52 Zatem prawdopodobieństwo trafienia w 4 z 5 tarcz wynosi: 5 3 4 2 1 81 2 162 P5 (4) = =5· · = 4 5 5 625 5 625 3