Estymatory

Estymatory
Bartłomiej Wróbel, [email protected]
WFAIS, TUZ
4 listopad 2009
1 Estymatory
2 Metoda jack-knife
Estymatory
Estymator to statystyka używana do szacowania wartości
parametru rozkładu.
Estymator nieobciążony: wartość oczekiwana rozkładu estymatora
jest równa wartości szacowanego parametru:
E (X̂ ) = X
Estymator obciążony: istnieje różnica wartości oczekiwanej
rozkładu estymatora i wartości szacowanego parametru:
E (X̂ ) − X = b(X̂ )
b(X̂ ) – obciążenie estymatora
Estymator średniej
Średnia arytmetyczna jest wyrażona:
x=
n
1X
xi
n i=1
Jak wyznaczyć estymator średniej arytmetycznej?
Estymator średniej
Estymatorem wartości średniej x jest funkcja:
n
1X
xi
n i=1
x̂ = E (x) = E
=
!
1
= E
n
n
X
!
xi
=
i=1
1
1
[E (x1 ) + E (x2 ) + . . . + E (xn )] = (x1 + x2 + . . . + xn ) =
n
n
=
Estymator jest nieobciążony.
n
1X
xi = x
n i=1
Estymator wariancji
Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń wartości
cechy od wartości oczekiwanej.
Var (x) = E [(x − x)2 ]
Można to też zapisać:
Var (x) = E (x 2 ) − (E [x])2
Estymator wariancji
Dla nas interesujące:
σ2 =
n
1X
(xi − x)2 ,
n i=1
Estymator:
S2 =
jest obciążony.
n→∞
n
1X
(xi − x)2
n i=1
Estymator wariancji
Nieobciążony estymator wariancji:
S2 =
n
1 X
(xi − x)2
n − 1 i=1
natomiast poniższy estymator
S2 =
n
1X
(xi − x)2
n i=1
jest nieobciążony asymptotycznie.
Skośność i kurtoza
Skośność:
R
S=
Kurtoza:
R
κ=
(x − E (x))3
p(x)dx
σ3
(x − E (x))4
p(x)dx − 3
σ4
Metoda jack-knife
mając próbkę {x1 , x2 , . . . , xn } bierzemy pierwszy punkt ze zbioru i
dla pozostałych liczymy skośność:
(1)
SN
1
=
N −1
(xi − x)3
P
(1)
(σN )3
;
1 qX
(xi − x)2
N −1
zwracamy pierwszy element, bierzemy kolejny i wyznaczamy
skośność jak wyżej.
(1)
σN =
Metoda jack-knife
Po przetworzeniu wszystkich punktów mamy zbiór
(1)
(2)
(N)
{SN , SN , . . . , SN } Wyznaczamy średnią:
S=
1 X (i)
S
N i N
i błąd średniej:
v
u
u N − 1 X (i)
err = t
(SN − S)2
N
i
Analogicznie postępujemy dla kurtozy i innych estymatorów.
Metoda jack-knife
Problem: duża próbka, np. 106 . Metoda jest czasochłonna.
Jak można przyspieszyć? Dzieląc na bloki. W praktyce wystarczy
10 − 20 bloków.
TABLICA: jack-knife z blokami, dystrybuanta, normowanie
histogramu