Statystyka Średnie pozycyjne

Statystyka
Statystyka – nauka zajmująca się wykrywaniem, badaniem i opisywaniem zależności
występujących w zjawiskach masowych; zbiór metod służących gromadzeniu, prezentacji,
analizie i interpretacji danych. Przedmiotem badania statystycznego jest zbiorowość
statystyczna, zwana też populacją.
Zbiorowość statystyczna – zbiór elementów (osób, przedmiotów, itp.) mających jedną lub
kilka wspólnych cech.
Cecha statystyczna – właściwość, ze względu na którą wykonywane jest badanie (inaczej
zmienna losowa).
Jednostka statystyczna – element zbiorowości statystycznej.
Próba – część (podzbiór) zbiorowości, która podlega badaniu ze względu na ustaloną cechę.
Liczebność zbiorowości – liczba jednostek w zbiorowości.
Częstość względna – stosunek częstości występowania danej wartości cechy do liczby
wszystkich danych.
Wyniki badań stanowiące materiał statystyczny przedstawiamy w postaci szeregów
statystycznych (prosty, rozdzielczy) oraz w postaci graficznej (diagramy i wykresy).
Średnie pozycyjne
Średnia arytmetyczna
Średnią arytmetyczną prostą liczb x1 , x 2 , Κ , x n nazywamy stosunek sumy tych liczb do ich
ilości, tzn.:
x + x2 + Κ + xn
x= 1
.
n
Przykład:
Spółka handlowa wynajmuje 6 pomieszczeń magazynowych, których powierzchnia wynosi
odpowiednio (w m2): 52, 44, 46, 65, 78, 90. Jaka jest przeciętna powierzchnia
wynajmowanego przez spółkę pomieszczenia magazynowego?
x=
52 + 44 + 46 + 65 + 78 + 90 375
=
= 62,5 [m2]
6
6
Średnią arytmetyczną ważoną liczb x1 , x 2 , Κ , x n z wagami (z ilościami) odpowiednio
n1 , n 2 , Κ , nk nazywamy stosunek sumy tych liczb do ich ilości, tzn.:
x=
n1 x1 + n 2 x 2 + Κ + n k x n
.
n1 + n2 + Κ + nk
Przykład:
Ania dała do przepisania na komputerze tekst. Okazało się, że na 15 przepisanych stronach
występują następujące ilości błędów: 3, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 5. Przedstaw dane w
postaci szeregu prostego, rozdzielczego oraz znajdź średnią ilo ść błędów przypadającą na
stronę.
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5
szereg prosty
ilość błędów liczba stron
na stronie
(ni)
0
3
1
5
2
4
3
2
5
1
szereg rozdzelczy
obliczenie średniej jako średniej arytmetycznej ważonej:
3 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 0 + 5 + 8 + 6 + 5 24
=
= 1,6
x=
=
3 + 5 + 4 + 2 +1
15
15
Przykład:
Miesięczne wydatki na żywność losowo wybranych rodzin 3-osobowych pewnej gminy
przedstawiają się następująco: 180-220 zł – 15 rodzin, 220-260 zł – 45 rodzin, 260-300 –
70 rodzin, 300-340 – 50 rodzin, 340-380 – 20 rodzin. Wyznacz średnie miesięczne wydatki
rodziny.
miesięczne liczba wartość
wydatki [zł] rodzin środkowa
180 – 220
15
200
220 – 260
45
240
260 – 300
70
280
300 – 340
50
320
340 – 380
20
360
x=
=
15 ⋅ 200 + 45 ⋅ 240 + 70 ⋅ 280 + 50 ⋅ 320 + 20 ⋅ 360
=
15 + 45 + 70 + 50 + 20
3000 + 10800 + 19600 + 16000 + 7200 56600
=
= 283
200
200
Średnia harmoniczna
Średnią harmoniczną liczb x1 , x 2 , Κ , x n nazywamy liczbę:
n
~
x=
.
1
1
1
+
+Κ +
x1 x 2
xn
Średnią harmoniczną stosujemy jako miary przeciętnego poziomu zjawisk wyrażonych
wielkościami względnymi, tj. uzyskiwanymi jako iloraz dwóch wielkości prostych, np.
stosunek wykonanej pracy do czasu, stosunek przebytej drogi do czasu (średnia prędkość).
Średnia geometryczna
Mierząc stosunkowe zmiany zjawiska często chcemy ustalić średnie tempo tych zmian
przypadające na jednostkę czasu. To średnie tempo ustalamy stosując średnią geometryczną.
Średnią geometryczną dodatnich liczb x1 , x 2 , Κ , x n nazywamy liczbę:
xˆ = n x1 ⋅ x 2 ⋅ Κ ⋅ x n .
Mediana
Mediana – taka wartość cechy, że połowa jednostek jest mniejsza od mediany, a połowa jest
od niej większa, tzn.:
- dla n nieparzystego: Me = x n+1
2
xn + xn
- dla n parzystego: Me =
2
2
+1
2
Dla szeregu rozdzielczego mediana wyraża się następującym wzorem:
n
− (n1 + n2 + Κ + n m−1 )
2
Me = x0 m +
⋅ hm
nm
gdzie: x0 m - dolna granica przedziału, w którym występuje mediana
n - całkowita liczebność zbiorowości
n1 , n 2 , Κ , nm −1 - liczności przedziałów: pierwszego, drugiego, …, poprzedzającego ten,
w którym występuje mediana
nm - liczność przedziału, w którym znajduje się mediana
hm - rozpiętość przedziału, w którym znajduje się mediana
Dominanta
Dominanta (moda) – wartość cechy, występująca najczęściej w zbiorowości.
Dla szeregów rozdzielczych dominanta wyraża się następującym wzorem:
nm − nm −1
Mo = x 0m +
⋅ hm
(nm − nm −1 ) + (n m − nm +1 )
gdzie: x0 m - dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta
nm , nm −1 , nm +1 - odpowiednio liczebność przedziału, w którym znajduje się dominanta,
przedziału poprzedniego oraz następnego
hm - rozpiętość przedziału, w którym znajduje się dominanta
Kwantyle
Kwantyle - wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu
statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek,
części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.
Kwartyl pierwszy - dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek
zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu, a 75% równe
bądź wyższe od tego kwartyna. Dla szeregu rozdzielczego:
n
− (n1 + n 2 + Κ + n m−1 )
4
Q1 = x0 m +
⋅ hm
nm
Kwartyl drugi – mediana
Kwartyl trzeci - dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek
zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe
bądź wyższe od tego kwartyla. Dla szeregu rozdzielczego:
3n
− (n1 + n2 + Κ + n m −1 )
4
Q3 = x 0m +
⋅ hm
nm
Decyle - decyl n -ty oznacza, że n ⋅ 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe
od decyla n -tego, a 100% − n ⋅ 10% jednostek ma wartości cechy większe lub równe od
decyla n -tego.
Rozstęp – różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością cechy w zbiorze
R = x max − x min
Rozstęp jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar zmienności badanej cechy, nie daje
on jednak informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy w zbiorowości.
Rozstęp ćwiartkowy – różnica pomiędzy kwartylem trzecim i pierwszym.
RQ = Q3 − Q1
Miary zróżnicowania cechy
Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości
cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + Κ + ( x n − x ) 2
2
ω =
n
Dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi wariancja wyraża się wzorem:
n ⋅ ( x& − x ) 2 + n2 ⋅ ( x&2 − x ) 2 + Κ + nk ⋅ ( x&k − x ) 2
ω2 = 1 1
n
gdzie: n1 , n 2 , Κ , nk - liczebności poszczególnych przedziałów (klas)
x&1 , x&2 , Κ , x&k - wartości środkowe poszczególnych przedziałów
Odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancji.
ω = ω2
Odchylenie standardowe stanowi miarę zróżnicowania o jednostce zgodnej z jednostką
badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej
arytmetycznej
Typowy obszar zmienności cechy – obszar, w którym około 2/3 wszystkich jednostek
badanej zbiorowości statystycznej posiada wartości cechy w tym przedziale:
x − ω < xtyp < x + ω
Odchylenie ćwiartkowe - parametr określający odchylenie wartości cechy od mediany.
(Q − Me) + ( Me − Q1 ) Q3 − Q1
Q= 3
=
2
2
Odchylenie ćwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek; po odrzuceniu
25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych.
Typowy obszar zmienności cechy: Me − Q < xtyp < Me + Q
Współczynnik zmienności (klasyczny) – iloraz bezwzględnej mary zmienności cechy i
średniej wartości tej cechy:
- klasyczny - pozycyjny -
Vs =
ω
x
Q
VQ =
Me
lub
lub
Vs =
ω
⋅ 100%
x
Q
VQ =
⋅ 100%
Me
Współczynnik zmienności określa udział odchylenia standardowego (lub odchylenia
ćwiartkowego) w średniej (lub w medianie).
Miary asymetrii
Współczynnik asymetrii – wyraża się wzorem
1 ( x1 − x ) 3 + ( x 2 − x ) 3 + Κ + ( x n − x ) 3
A= ⋅
n
ω3
lub dla szeregu rozdzielczego
1 n1 ⋅ ( x1 − x ) 3 + n 2 ⋅ ( x 2 − x ) 3 + Κ + nk ⋅ ( x k − x ) 3
A= ⋅
n
ω3
Współczynnik skośności – wyraża się wzorem
x − Mo
A=
ω
Współczynnik asymetrii (pozycyjny) – wyraża się wzorem
(Q − Me) − ( Me − Q1 ) Q3 + Q1 − 2Me Q3 + Q1 − 2Me
A= 3
=
=
(Q3 − Me) + (Me − Q1 )
Q3 − Q1
2Q
Współczynnik A określa siłę oraz kierunek asymetrii:
- jeżeli A = 0 , to rozkład wartości cechy jest symetryczny
- jeżeli A < 0 , to rozkład wartości cechy jest lewostronnie asymetryczny (skupia się na
większych wartościach cechy)
- jeżeli A > 0 , to rozkład wartości cechy jest prawostronnie asymetryczny (skupia się na
mniejszych wartościach cechy)
Współczynnik koncentracji (kurioza, współczynnik skupienia) – miara skupienia
poszczególnych obserwacji wokół średniej wyrażana wzorem:
1 ( x − x ) 4 + ( x 2 − x ) 4 + Κ + ( xn − x ) 4
K= ⋅ 1
n
ω4
lub dla szeregu rozdzielczego
1 n1 ⋅ ( x1 − x ) 4 + n 2 ⋅ ( x 2 − x ) 4 + Κ + nk ⋅ ( x k − x ) 4
K= ⋅
n
ω4
Współczynnik K określa koncentrację cech wokół średniej:
- im wyższa jest wartość współczynnika K , tym większa koncentracja cech wokół średniej, a
krzywa liczebności bardziej smukła
- małe wartości współczynnika K świadczą o mniejszej koncentracji cech wokół średniej, a
co za tym idzie, krzywa liczebności jest spłaszczona.
Współczynnik korelacji wyznaczamy ze wzoru:
rxy =
1
⋅ [( x1 − x )( y1 − y ) + ( x 2 − x )( y 2 − y ) + Κ + ( x n − x )( y n − y )]
cov( x, y )
n
=
ω xω y
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + Κ + ( x n − x ) 2 ⋅ ( y1 − y ) 2 + ( y 2 − y ) 2 + Κ + ( y n − y ) 2
[
][
]
Siła zależności dla współczynników korelacji: brak zależności (0 − 0,2) , słaba (0,2 − 0,4) ,
średnia (0,4 − 0,7) , silna (0,7 − 0,9) , bardzo silna (0,9 − 1) .
Przykład:
Miesięczne dodatkowe dochody studentów pewnej uczelni w zbadanej grupie 120
wylosowanych osób były następujące:
dochody [zł]
liczba
studentów
150-250
250-350
350-450
450-550
550-650
650-750
750-850
850-950
950-1050
7
10
21
30
19
15
10
6
2
Oblicz: dominantę, kwartyl pierwszy, medianę, kwartyl trzeci, rozstęp ćwiartkowy, wariancję,
odchylenie standardowe, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności, współczynnik
asymetrii oraz wyznacz typowy obszar zmienności.