Wzory dla szeregu szczegółowego:

Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego:
Wzory dla szeregu szczegółowego:
->Średnia arytmetyczna ważona
-> Średnia arytmetyczna
(5)
(1)
->Średnia harmoniczna
(6)
->Średnia harmoniczna
(2)
->Średnia geometryczna
->Średnia geometryczna
(7)
(3)
->Mediana
(4)
->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak
w przypadku szeregu szczegółowego.
-> W przypadku szeregów szczegółowych kwartyle pierwszy i trzeci
Wzory dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:
wyznacza się korzystając ze wzoru na medianą. Zbiorowość dzieli
się na dwie równe części (pierwszą - której jednostki przyjmują
->Średnia arytmetyczna ważona
wartości nie większe od mediany, drugą - złożoną z pozostałych
(8)
jednostek). Dla każdej z tych części można wyznaczyć medianę.
Dla pierwszej części wartość j e j mediany odpowiada kwartylowi
dolnemu, dla drugiej części - kwartylowi górnemu.
->Średnia harmoniczna
(9)
bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą medianą.
->Średnia geometryczna
(10)
-> Kwartyl górny
(13)
->Kwartyl dolny
gdzie
(11)
gdzie
dolna granica przedziału zawierającego kwartyl górny,
rozpiętość przedziału klasowego,
liczebność klasy zawierającej kwartyl górny,
- dolna granica przedziału zawierającego kwartyl dolny,
rozpiętość przedziału klasowego,
- suma liczebności klas od pierwszej do t e j , która
- liczebność klasy zawierającej kwartyl dolny,
bezpośrednio poprzedza klasę zawierającą kwartyl górny.
- suma liczebności klas od pierwszej do t e j , która
bezpośrednio poprzedza klasę
zawierającą kwartyl dolny
->Moda
(14)
-> Mediana
gdzie
(12)
gdzie
- dolna granica przedziału zawierającego medianę,
rozpiętość przedziału klasowego,
- liczebność klasy zawierającej medianę,
dolna granica przedziału zawierającego modę,
rozpiętość przedziału klasowego,
liczebność klasy zawierającej modę,
liczebność klasy poprzedzającej klasę zawierającą modę,
liczebność klasy następującej po klasie zawierającej modę.
3.3. Miary zmienności
Miary
zmienności
(zróżnicowania,
dla szeregu szczegółowego
rozproszenia,
dyspersji)
(16)
charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod
dla szeregu rozdzielczego punktowego
względem badanej cechy. Podstawowe miary zmienności to: rozstęp,
wariancja,
odchylenie
standardowe,
współczynnik
zmienności,
(17)
odchylenie ćwiartkowe.
Rozstęp
(R)
charakteryzuje
empiryczny
obszar
dla szeregu rozdzielczego przedziałowego
zmienności
badanej cechy.
Wariancja
jest
średnią
arytmetyczną
kwadratów
poszczególnych wartości cechy od ich wartości średniej. Dla
oznaczenia
wariancji
w próbie
stosuje się s2,
->
Odchylenie standardowe
(19)
natomiast dla
->Typowy klasyczny obszar zmienności cechy
oznaczenia wariancji w populacji generalnej
Współczynnik zmienności
(18)
odchyleń
(20)
(V) - jest wielkością niemianowaną
Przyjmuje się, że jeśli V<10%, to cechy wykazują zróżnicowanie
->Współczynnik zmienności
(21)
statystycznie nieistotne. Duże wartości współczynnika zmienności
świadczą o zróżnicowaniu, a więc niejednorodności zbiorowości.
Odchylenie
ćwiartkowe
mierzy
poziom
zróżnicowania
części
->Odchylenie ćwiartkowe
(22)
jednostek pozostałej po odrzuceniu 25%jednostek o wartościach
->Typowy pozycyjny obszar zmienności cechy
najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych.
(23)
->Rozstęp
(15)
->Wariancja
Rys. 6. Rozkhd symetryczny, rozkład lewostronnie asymetryczny i rozkład
prawostronnie asymetryczny
3.4. Miary asymetrii
Dodatkowym elementem analizy struktury jest badanie asymetrii
rozkładu. Jest no wskazane zwłaszcza wtedy, gdy dwie badane
zbiorowości
charakteryzują
się
podobnymi
charakterystykami
liczbowymi (np. dominantą) i rozproszeniem, a jednak dokładniejsza
obserwacja szeregu wyklucza podobieństwo struktur rozważanych
zbiorowości.
położenie
O stopniu i kierunku asymetrii
wzglądem
siebie
średniej
decyduje wzajemne
arytmetycznej,
mediany
i dominanty.
Współczynnik
asymetrii (A) - im bliższy zera, tym słabsza
asymetria rozkładu. Znak współczynnika mówi o kierunku asymetrii
(A<0 - asymetria lewostronna, A>0 - asymetria prawostronna).
(24)
dla szeregu szczegółowego
(25)
dla szeregu rozdzielczego punktowego
(26)
dla szeregu rozdzielczego przedziałowego
(27)
Rys. 7. Różny stopień koncentracji cechy
3.5. Miary koncentracji
Miary asymetrii pozwalają na opis kształtu struktury. Opis ten
można
uzupełnić
poszczególnych
o miary
obserwacji
koncentracji.
wokół
średniej
Miarą
jest
skupienia
współczynnik
skupienia K. Im wyższa wartość K, tym bardziej wysmukła krzywa
liczebności,
czyli
większa
średniej. Małe wartości
koncentracja
wartości
cechy
wokół
K wskazują natomiast na spłaszczenie
rozkładu badanej cechy. Przyjmuje się, że jeżeli zbiorowość ma
rozkład normalny, to K=3, bardziej spłaszczony od normalnego ma
K<3, a bardziej wysmukły od normalnego K>3.
(28)
gdzie
.
dla szeregu szczegółowego
(29)
dla szeregu rozdzielczego punktowego
(30)
dla szeregu rozdzielczego przedziałowego
(31)
3.6. Uwagi końcowe
Średnia arytmetyczna jest najczęściej wykorzystywaną miarą
jednak nie zawsze jest ona dobrym miernikiem tendencji centralnej.
Średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy.
Wartość
średniej
w przypadku,
arytmetycznej
kiedy
największe
może
liczebności
wprowadzać
w błąd
skupiają się
najniższych lub najwyższych wartości cechy. Podobnie
wokół
wartość
średniej arytmetycznej może wprowadzać w błąd, gdy wyznacza się
średnią
w przypadku
rozkładów
niejednorodnych
(z kilkoma
ośrodkami dominującymi).
Ocenę
poszczególnych
rozkładu (kwartyle - usytuowanie pudełka, a zwłaszcza dzielącej go
parametrów
uzupełnia
tzw.
wykres
pudełkowy („pudełko z wąsami"). Składa się on z prostokąta, którego
dwa pionowe boki wskazują wartość kwartyla dolnego i górnego.
Wewnątrz prostokąta zaznacza się medianę. Wykres usytuowany
jest względem poziomej osi liczbowej ze skalą obejmującą pełny
zakres wartości zbioru danych. Dodatkowo na wykresie zaznacza się
wartości („wąsy"):
Wykres pudełkowy dostarcza informacji o tendencji centralnej
pionowej kreski), zmienności (długość pudełka i całego wykresu),
asymetrii
rozkładu
(dysproporcje
rozstępów
pomiędzy
bokami
prostokąta a dzielącą go kreską oraz pomiędzy długością „wąsów")
oraz wartościach w znacznym stopniu przekraczających przedział
zmienności dla wartości typowych.
Rys.10. Graficzna metoda wyznaczania kwartyli (histogram i diagram liczności
skumulowanych)
Rys.9. Graficzna metoda wyznaczania mody (histogram liczności)