tutaj

Zagadnienia na egzamin z przedmiotu Matematyka
po I semestrze zaocznych studiów doktoranckich
w Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH
1. Zbiór liczb wymiernych i rzeczywistych
a) Relacja porządku w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych.
b) Aksjomat ciągłości (Archimedesa).
c) Zupełność zbioru liczb rzeczywistych.
d) Ciągi liczb rzeczywistych i ich granice - działania na granicach.
e) Liczba e.
2. Szeregi liczb rzeczywistych
a) Ciąg i szereg arytmetyczny, ciąg i szereg geometryczny, zastosowanie szeregu
geometrycznego w schematach spłat kredytu.
b) Szereg harmoniczny.
3. Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej
a) Pojęcie funkcji - dziedzina, przeciwdziedzina, obraz, przeciwobraz, zbiór wartości.
b) Złożenie funkcji, funkcja odwrotna.
c) Własności funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej - monotoniczność, ciągłość.
d) Wypukłość, nierówność Jensena.
e) Funkcja eksponencjalna.
4. Różniczkowanie funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
a) Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie, pojęcie funkcji pochodnej.
b) Pochodne funkcji elementarnych, pochodna funkcji uwikłanej i odwrotnej.
c) Twierdzenie Lagrange’a.
d) Zastosowanie pochodnych do badania monotonicznosci i wypukłości.
5. Wzór Taylora, szeregi potęgowe
a) Pojęcie rzędu funkcji.
b) Wielomiany Maclaurina i Taylora, przybliżanie funkcji w otoczeniu ustalonego punktu za
pomocą wielomianów.
c) Zastosowanie wielomianu Taylora w obliczeniach dotyczących rentowności obligacji.
d) Wzór Taylora z resztą Lagrange’a. Szereg Taylora.
e) Szeregi potegowe - promien zbieżności, różniczkowanie.
6. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych rzeczywistych
a) Wektory i działania na wektorach. Iloczyn skalarny i norma wektora.
b) Metryka w przestrzeni R n . Zbieżność ciągów wektorowych w przestrzeni R n .
c) Ciągłość i lipschitzowskość funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych.
d) Zbiory otwarte i domknięte w przestrzeni R n . Zbiory zwarte.
e) Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych.
7. Różniczkowanie funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych
a) Definicja różniczkowalności funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych.
b) Pochodne cząstkowe i gradient.
c) Istnienie pochodnych cząstkowych i gradientu a różniczkowalność.
8. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji rzeczywistych wielu
zmiennych rzeczywistych
a) Lokalne przybliżanie funkcji wielu zmiennych za pomocą form liniowych i
kwadratowych. Wzór Taylora.
b) Warunek konieczny i wystarczajacy na istnienie ekstremum lokalnego.
c) Badanie wypukłości.
d) Kierunek największego i najmniejszego wzrostu funkcji. Poziomice.
e) Ekstrema globalne i ekstrema warunkowe funkcji rzeczywistych wielu
zmiennych rzeczywistych.
9. Całkowanie funkcji rzeczywistej o wartościach rzeczywistych i wektorowych
a) Funkcja pierwotna, całka oznaczona o wartościach wektorowych.
b) Całka Lebesgue’a, własności całki Lebesgue’a, związek z całką oznaczoną.
c) Całka podwójna, zamiana zmiennych w całce podwójnej.